תבנית דיפרנציאלית: הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
* במקרה k=n=1, תבנית -1 כללית היא מהצורה <math>fdx</math>, כאשר f [[פונקציה ממשית]].
 
* תבנית-1 כללית ב<math> {\mathbb {R} }^{ n }</math> היא מהצורה <math>{ f }_{ 1 }d{ x }_{ 1 }+...+{ f }_{ n }d{ x }_{ n }</math>, כאשר <math>{ f }_{ 1 },...,{ f }_{ n }</math> פונקציות ממשיות.
 
* תבנית-2 כללית ב<math> {\mathbb {R}} ^{ 3 }</math> היא מהצורה <math>p(x,y,z)dy\wedge dz+Q(x,y,z)dz\wedge dx+R(x,y,z)dx\wedge dy</math>, כאשר P,Q,R פונקציות ממשיות.
*'''מכפלה'''
 
אם <math>\omega =\sum { { \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } ;\tau =\sum { { \tau }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ dx }_{ { j }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { j }_{ l } } } </math> תבנית-k,
ו-<math>\tau =\sum { { \tau }_{ { ij }_{ 1 },...,{ ij }_{ kl } }{ dx }_{ { j }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { j }_{ l } } } </math> תבנית-l,
אז מכפלת התבניות היא תבנית -k+l המוגדרת כך:
<math>\omega \wedge \tau =\sum { { \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ \tau }_{ { ij }_{ 1 },...,{ ij }_{ kl } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } \wedge { dx }_{ { j }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { j }_{ l } }</math>
 
למשל, ב-<math>{\mathbb {R} }^{3}</math> מתקיים <math>(xdy+zdx)\wedge dz=xdy\wedge dz+zdx\wedge dz</math>.
<math>d\omega =\sum { d{ \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } =\sum { \sum _{ t=1 }^{ n }{ \frac { { \partial \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } } }{ \partial { x }_{ t } } d } { x }_{ t }\wedge { dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } </math>.
 
תבנית נקראת '''מדויקת''', אם היא [[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]] של תבנית אחרת. תבנית נקראת '''סגורה''', אם הדיפרנציאלה[[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]] שלה שווה זהותית ל[[אפס]].
 
==תכונות==