הבדלים בין גרסאות בדף "חוג נתרי"

נוספו 2 בתים ,  לפני 6 שנים
מ
הגהה
(הוספת קישור לערך חדש)
מ (הגהה)
חוג הוא נותרי אם ורק אם הוא [[מודול נותרי|נותרי]] כ[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל עצמו (משום שהאידאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).
 
* "'''תנאי המקסימום'''" (לאידאלים שמאליים) קובע שבכל קבוצה לא ריקה של אידאלים שמאליים בחוג <math>\ R</math>, קיים איבר מקסימלי, כלומר אידאל שלא מוכל באף אידאל אחר מהקבוצה (למרותאף על פי שאידאל כזה בדרך כלל אינו [[אידאל מקסימלי]]). חוג R הוא נותרי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי המקסימום על אידאלים שמאליים.
מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידאל שמאלי בחוג מוכל באידאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי [[הלמה של צורן]].
* '''"תנאי הבסיס הסופי"''': כל אידאל שמאלי <math>\ I</math> ב-<math>\ R</math> נוצר סופית (כלומר קיימים <math>\ a_1, a_2,..., a_n</math> ב-<math>\ R</math> כך ש <math>\ I=Ra_1+Ra_2+...+ Ra_n</math>). החוג R מקיים תנאי זה אם ורק אם הוא נותרי.
 
* כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא חוג נותרי. זה נובע מכך שהאידאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-<math>\ \{0\}</math>.
* [[משפט הבסיס של הילברט]]: אם <math>\ R</math> חוג נותרי אז <math>\ R[x]</math> חוג נותרי (<math>\ R[x]</math> הינוהוא חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל <math>\ R</math>). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של [[דויד הילברט|הילברט]] עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
* כל [[הומומורפיזם|תמונה הומומורפית]] <math>\ R'</math> של חוג נותרי <math>\ R</math> היא נותרית בעצמה. במלים אחרות, אם <math>\ R</math> חוג נותרי ו-<math>\ I</math> אידאל, אז חוג המנה <math>\ R/I</math> גם הוא נותרי. ('''הוכחה''': כל אידאל של חוג המנה הוא תמונה של אידאל של R, הנוצרת על ידי תמונתה של קבוצת יוצרים סופית שם).
משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נותרית.