הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה (מבנה אלגברי)"

(←‏תת-חבורות: שיניתי "מפעולת כפל" ל "פעולה בינארית אסוציאטיבית")
אומרים שאברים a,b בחבורה '''מתחלפים''', אם ab=ba. אוסף האברים המתחלפים עם כל אברי החבורה הוא תת-חבורה שלה, הנקראת '''[[מרכז (תורת החבורות)|מֶרְכָּז]]''' <!-- כף קמוצה --> החבורה; את המרכז של G מקובל לסמן ב- <math>\ Z(G)</math>, על-פי המלה הגרמנית למרכז, Zentrum. המרכז הוא תת-חבורה נורמלית, ובחבורה אבלית הוא שווה לחבורה כולה. יש חבורות, כגון [[החבורה הסימטרית]], שבהן המרכז כולל רק את איבר היחידה. המרכז מוכל בכל תת-חבורה אבלית מקסימלית של החבורה.
 
באופן כללי יותר, לכל תת-חבורה H, של חבורה G מסמנים ב- <math>\ C_G(H)</math> את אוסף האברים של החבורהG, המתחלפים עם כל אברי H. תת-חבורה זו נקראת ה'''מְרַכֵּז''' <!-- ריש קמוצהפתוחה --> של H. בפרט, <math>\ Z(G) = C_G(G)</math>. אם <math>\ H \subseteq H_1</math> שתי תת-חבורות של G, אז <math>\ C_G(H_1)\subseteq C_G(H)</math>. לכל תת-חבורה מתקיים <math>\ H \subseteq C_G(C_G(H))</math>, ו- <math>\ C_G(H)=C_G(C_G(C_G(H)))</math>.
 
באופן דומה, מגדירים את ה'''מנרמל''' של H, כתת-החבורה <math>\ \{g \in G : gHg^{-1}=H\}</math>. תת-חבורה זו מכילה את H, והיא תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית.