מעטפת (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 10:
{{פסקה בעבודה}}
נניח שכל עקום ''C''<sub>''t''</sub> במשפחה נתון כפתרון של המשוואה ''f''<sub>''t''</sub>(''x'',&nbsp;''y'')=0
(ראו [[עקום אלגברי|עקום בלתי מפורש]]), כאשר ''t'' הוא פרמטר. נכתוב ''F''(''t'',&nbsp;''x'',&nbsp;''y'')=''f''<sub>''t''</sub>(''x'',&nbsp;''y'') ונניח ש-''F'' גזירה.
 
המעטפת של המשפחה ''C''<sub>''t''</sub> מוגדרמוגדרת כאוסף הנקודות עבורם מתקיים :<math>F(t, x, y) = {\partial F \over \partial t}(t, x, y) = 0</math> עבור ערך כלשהו של t.
 
לשם דוגמא, יהי ''C''<sub>''t''</sub> הקו הישר אשר משוואתו היא מהצורה:
 
<math>\frac{x}{t}+\frac{y}{1-t}=1</math>. אם ננקה את השברים נקבל: :<math>x(1-t)+yt-t(1-t)=t^2+(-x+y-1)t+x=0.\,</math>. כלומר עבור כל נקודה (x,y) יש לכל היותר שתי ערכים של t עבורם הישר המתאים עובר דרך הנקודה (x,y), ואינטואיציה גאומטרית עוזרת להבין זאת, כי קיים בודאות ישר אחד שעובר דרך הנקודה (הישרים מכסים יחדיו את כל האזור התחום על ידי המעטפת) ולאחר מכן ניתן "לנוע" לאורך הישר הנתון באמצעות נקודות החיתוך עם ישרים סמוכים עד שמגיעים לנקודה הנ"ל. אולם, נקודות (x,y) הנמצאות על המעטפת מוגדרות כ[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] של נקודות חיתוך של עקומים "סמוכים" ולפיכך לכל נקודה על הגבול יש בדיוק ישר אחד שעובר דרכה. המשמעות היא שלמשוואה הריבועית לעיל יש פתרון יחיד t, ולפיכך המעטפת היא אוסף כל הנקודות (x,y) עבורם ל[[משוואה ריבועית|משוואה הריבועית]]:<1)+xmath>t^2+(-x+y-</math> יש פתרון יחיד. לפיכך משוואת המעטפת היא ה[[דיסקרימיננטה]] של המשוואה הריבועית שווה לאפס::<math>(-x+y-1)^2-4x=(x-y)^2-2(x+y)+1=0.\,</math>.
 
==דוגמאות==