מעטפת (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 2:
ב[[גיאומטריה]], '''מעטפת''' (ב[[אנגלית]]: Envelope) של [[משפחת עקומים|משפחה]] של [[עקומה|עקומים]] במישור היא העקום אשר [[משיק]] לכל עקום במשפחה הזו בנקודה כלשהי. באופן קלאסי, ניתן לחשוב על נקודה על המעטפת כנקודת החיתוך של שני עקומים "סמוכים", כלומר הגבול של נקודות החיתוך של עקומים סמוכים. המעטפת של משפחת העקומים "תוחמת" את משפחת העקומים, במובן שכל נקודה על כל עקום כלשהו השייך למשפחה נמצאת בתוך האזור התחום על ידי המעטפת. הרעיון הזה יכול להיות מוכלל למעטפת של משטחים במרחב, וכך הלאה למימדים גבוהים יותר.
[[Image:Circle caustic.png|left|קאוסטיקה שנוצרת על ידי [[מעגל]] וקרניים מקבילות.]]▼
ב[[אופטיקה גאומטרית]], ה[[קאוסטיקה]] היא המעטפת של משפחה של [[קרן אור|קרני אור]], כפי שניתן לראות באיור.
שורה 25 ⟵ 23:
[[קובץ:Astroid as envelope.png|left|thumb|]]
* סולם שמונח על קיר במקביל לקיר, ומתחיל להחליק כך שקצה אחד שלו נמצא על הקיר האנכי וקצה אחר שלו על הרצפה יתווה מעטפת של אסטרואידה (ה[[אוולוט]] של ה[[אליפסה]]), כלומר האסטרואידה היא המעטפת של כל המצבים של הסולם בזמנים שונים. בניסוח מתמטי, האסטרואידה היא המעטפת של משפחה של קווים ישרים המחברים את הנקודות (s,0), ו-(0,t) כאשר''s''<sup>2</sup> + ''t''<sup>2</sup> = 1, כמוראה באיור.
==יישומים==
===משוואות דיפרנציאליות רגילות===
מעטפות גאומטריות רשורות למחקר של [[משוואה דיפרנציאלית רגילה|משוואות דיפרנציאליות רגילות]], ובאופן מיוחד בהקשר של [[פתרון סינגולרי|פתרונות סינגולריים]] למד"ר. ניקח, כדוגמא, את המשפחה בת פרמטר אחד של קווים משיקים לפרבולה ''y'' = ''x''<sup>2</sup>. אלה מתקבלים באמצעות המשפחה היוצרת ''F''(''t'',(''x'',''y'')) = ''t''<sup>2</sup> – 2''tx'' + ''y''. הצבת רמת האפס ''F''(''t''<sub>0</sub>,(''x'',''y'')) = 0 נותנת את המשוואה של המשיק לפרבולה בנקודה (''t''<sub>0</sub>,''t''<sub>0</sub><sup>2</sup>). המשוואה ''t''<sup>2</sup> – 2''tx'' + ''y'' = 0 ניתנת תמיד לפתרון בצורה של y כפונקציה של x ולכן:
:<math> t^2 - 2tx + y(x) = 0. \ </math>
הצבה :<math> t = \left(\frac{dy}{dx}\right)/2 </math>
נותנת את המד"ר:
:<math> \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \!\! - 4x\frac{dy}{dx} + 4y = 0. </math>
באופן לא מפתיע, ''y'' = 2''tx'' − ''t''<sup>2</sup>, כולם פתרונות למד"ר הזו. כמו כן, גם המעטפת של המשפחה בת-פרמטר אחד של קווים אלו, שהיא הפרבולה ''y'' = ''x''<sup>2</sup>, גם היא פתרון למד"ר הזו.
===קאוסטיקות===
ב[[אופטיקה גאומטרית]], ה[[קאוסטיקה]] היא המעטפת של משפחה של [[קרן אור|קרני אור]]. בתמונה זו ישנה [[קשת]] של מעגל. קרני האור מגיעות ממקור "באינסוף" ולכן מגיעות מקבילות. כשהם פוגעים בקשת המעגלית קרני האור מפוזרות בכיוונים שונים לפי [[החזרת אור|חוק ההחזרה]].
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
| |||