מעטפת (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד |
|||
שורה 23:
[[קובץ:Astroid as envelope.png|left|thumb|]]
* סולם שמונח על קיר במקביל לקיר, ומתחיל להחליק כך שקצה אחד שלו נמצא על הקיר האנכי וקצה אחר שלו על הרצפה יתווה מעטפת של אסטרואידה (ה[[אוולוט]] של ה[[אליפסה]]), כלומר האסטרואידה היא המעטפת של כל המצבים של הסולם בזמנים שונים. בניסוח מתמטי, האסטרואידה היא המעטפת של משפחה של קווים ישרים המחברים את הנקודות (s,0), ו-(0,t) כאשר''s''<sup>2</sup> + ''t''<sup>2</sup> = 1, כמוראה באיור.
'''הוכחה''': משפחת הישרים היא אוסף כל הישרים שמשוואתם מהצורה y = t - tx/(1-t<sup>2</sup>)<sup>0.5</sup> כאשר t בין 0 ל-1 (כולל). המעטפת של משפחת הישרים היא אוסף כל הנקודות שמקיימות dy/dt = 0. לכן:
< 0 = 1 - x/(1-t<sup>2</sup>)<sup>0.5</sup> - t<sup>2</sup>x/(1 - t<sup>2</sup>)<sup>3/2</sup> = 1 - x/(1-t<sup>2</sup>)<sup>3/2</sup>>
לכן : '''X = (1 - t<sup>2</sup>)<sup>3/2</sup
Y = t<sup>3</sup>'''
ומכאן '''x<sup>2/3</sup> + y<sup>2/3</sup> = 1''' , וזוהי משוואת האסטרואידה.
==יישומים==
| |||