|
חלק מהבעיה הוא מציאת ערכים של הפרמטר <math>\ \lambda</math> שעבורם יש למשוואה פתרון. פתרונות של המשוואה הם [[פונקציה עצמית|פונקציות עצמיות]] של [[אופרטור]] [[נגזרת|גזירה]] [[אופרטור הרמיטי|הרמיטי]] מעל [[מרחב פונקציות]] שמוגדר על ידי תנאי הקצה.
== דוגמאות ושימושים ==
=== טור פורייה ===
{{הפניה למאמר ראשי|טור פורייה}}
באופן אינטואיטיבי, מדובר פשוט בהצגת איבר ב[[מרחב וקטורי]] כ[[צירוף לינארי]] [[בן מניה]] של איברי [[בסיס (אלברה)|בסיס]] (אורתונורמלי) לאותו מרחב.
כלומר:
: <math>\ \vec{x} = \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \hat{e_n}} </math>
עבור בסיס אורתונורמלי, את המקדמים אפשר לחשב באמצעות הטלה:
: <math>\ a_n = \lang \vec{x} , \hat{e_n} \rang</math>
ולכן אפשר לרשום את ההצגה של כל איבר במרחב זה בצורה
: <math>\ \vec{x} = \sum_{n=1}^{\infty}{ \lang \vec{x} , \hat{e_n} \rang \hat{e_n}}</math>
[[טור פורייה]] ה[[טריגונומטריה|טריגונומטרי]] הוא מקרי פרטי של בנייה זו. טור פורייה במרחב הילברט <math>\ L_2[-\pi, \pi]</math> נראה כך:
: <math>\ f(t) = \sum_{n= -\infty}^{\infty}{F_n e^{int}}</math>
מאחר שמדובר ב[[טור (מתמטיקה)|טור]] אינסופי, יש לטפל בבעיות [[גבול (מתמטיקה)|התכנסות]] ולהראות באמת שהטור מתכנס אל האיבר שאותן מציגים. תוצאות אלה מוכחות במסגרת תורת שטורם-ליוביל והאנליזה הפונקציונלית.
=== משוואת החום ===
| 