עוצמה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 109.160.131.43 (שיחה) לעריכה האחרונה של יאיר ח. |
|||
שורה 69:
בהנחת [[אקסיומת הבחירה]] ניתן לפתור את הבעיה באופן פשוט יותר, באמצעות הגדרת המונה של [[ג'ון פון נוימן|פון-נוימן]]: '''מונה''' הוא [[מספר סודר|סודר]] <math>\mu</math> כך שלכל סודר <math>\alpha < \mu</math> אין העתקה חח"ע מ-<math>\mu</math> ל-<math>\alpha</math>. אקסיומת הבחירה שקולה לכך שכל עוצמה מיוצגת על ידי מספר מונה - כלומר שלכל קבוצה X יש מונה שעוצמתו היא |X|.
כיוון שהמונים הם סודרים - הם סדורים היטב,
:<math>\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots \aleph_\omega, \aleph_{\omega + 1}, \dots</math>
מקובל לסמן ב-<math>\omega_\alpha</math> את המספר המונה שמתאים לעוצמה <math>\aleph_\alpha</math>. במידה ואקסיומת הבחירה לא מתקיימת, הסדרה הזו לא ממצה את כל העוצמות ויש עוצמות שלא שוות לאף <math>\aleph_\alpha</math> - אלו העוצמות של הקבוצות אותן לא ניתן [[סדר טוב|לסדר היטב]]. למרות זאת, אין אף עוצמה שגדולה מכל סדרת האלף, כלומר לכל קבוצה X אפשר למצוא מספר אלף <math>\mu = \aleph_\beta</math> כך שאין פונקציה חד חד ערכית <math>f:\mu\rightarrow X</math> (זהו [[מספר הרטוג]] של X).
| |||