אי-שוויון המשולש – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
[[תמונה:Triangle inequality.svg|שמאל|250px]]
בניסוח אלגברי, ב[[מתמטיקה]], '''אי-שוויון]] המשולש''' מנוסחהוא כאיאי-שוויון חלש:מהצורה <math>\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)</math>, כאשר <math>\ d(\cdot,\cdot)</math> היא הפונקציהפונקציית המודדתמרחק. אי-השוויון מתאר את המרחקהעובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של [[צלע (גאומטריה)|צלע]] ב[[משולש]] אינו עולה על מסכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון זההמשולש נחשב לתכונה יסודית של כל [[מטריקה|שיטה למדידת מרחק]], ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל [[מרחב מטרי]] או [[מרחב נורמי|נורמי]]. הגרסה החזקה <math>\ d(A,C)\leq \max\{d(A,B),d(B,C)\}</math> נקראת '''אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות'''.
 
ב[[מתמטיקה]], '''אי-שוויון המשולש''' הוא התרגום האלגברי לעובדה שב[[משולש]], אורכה של כל [[צלע (גאומטריה)|צלע]] תמיד יהיה קטן מסכום אורכי הצלעות האחרות, שבתורה נובעת מכך שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות.
 
בניסוח אלגברי, [[אי-שוויון]] המשולש מנוסח כאי-שוויון חלש: <math>\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)</math>, כאשר <math>\ d(\cdot,\cdot)</math> היא הפונקציה המודדת את המרחק. אי-שוויון זה נחשב לתכונה יסודית של כל [[מטריקה|שיטה למדידת מרחק]], ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל [[מרחב מטרי]] או [[מרחב נורמי|נורמי]].
 
הצד השני של אי-שוויון המשולש, אותו ניתן להוכיח על ידי העברת אגפים, הוא
<math>\ d(A,C)\geq d(A,B)-d(B,C)</math>.
 
== אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים ==
שורה 27 ⟵ 21:
 
אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ- A ל- C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות [[מטריקה]] ו[[מרחב מטרי]]. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה <math>\ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|</math> בהגדרה של [[נורמה (אנליזה מתמטית)|נורמה]] ו[[מרחב נורמי]].
 
הצד השני של אי-שוויון המשולש, אותו ניתן להוכיח על ידי העברת אגפים, הוא
<math>\ d(A,C)\geq d(A,B)-d(B,C)</math>.
 
==ראו גם==