החבורה הסימטרית – הבדלי גרסאות

תמורה שניתן להציגה כמכפלה של [[מספר זוגי]] של חילופים נקראת תמורה זוגית, ואילו תמורה שהיא מכפלה של מספר אי-זוגי של חילופים נקראת תמורה אי-זוגית. למרות שההצגה של תמורה בתור מכפלת חילופים אינה יחידה, הזוגיות של מספר החילופים בכל שתי הצגות תמיד תהיה זהה, ולכן מושג הזוגיות של תמורה מוגדר היטב. בדוגמה של כפל התמורות, <math>\ g</math> היא מכפלה של שלושה חילופים ולכן היא אי-זוגית בעוד <math>\ f</math> היא תמורה זוגית.

 

 

אם מגדירים את פונקציית הסימן על ידי <math>\operatorname{sign}(f)=+1</math> אם f תמורה זוגית ו-<math>\operatorname{sign}(f)=-1</math> אם f היא אי-זוגית, אז ההעתקה<math>\ \operatorname{sign}:S_n\rightarrow\{+1,-1\}\equiv\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}:</math> היא [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]] של חבורות. גרעין ההעתקה, כלומר קבוצת התמורות הזוגיות, נקרא [[חבורת התמורות הזוגיות]] ומקובל לסמן אותו באות <math>\ A_n</math>. זוהי [[תת חבורה נורמלית]] של <math>\ S_n</math> ויש בה בדיוק <math>\ n!/2</math> איברים.