ויקיפדיה

מספרים זרים – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 21:
 
==ההסתברות ששני מספרים יהיו זרים==
נסמן ב-<math>P_N</math> את ההסתברות ששני מספרים טבעיים קטנים מ-N שנבחרים באקראי (ב[[התפלגות אחידה]]) יהיו זרים. אז כאשר N שואף לאינסוף, <math>P_N</math> שואף ל-<math>\tfrac{6}{\pi^2}\approx 0.6079</math>. על כן ניתן לומר שההסתברות ששני מספרים טבעיים כלשהם יהיו זרים היא <math>\tfrac{6}{\pi^2}</math> (הסיבהתאור שעברנוההסתברות דרךכגבול גבולדרוש שלמשום הסתברויותשאי היא שבלתי אפשריאפשר לבחור שני מספרים טבעיים לא חסומיםסתם, בהתפלגות אחידה).
 
המקור לטענה הוא בנימוק הבא: נבחר שני מספרים באופן אקראי (למען הפשטות, נוותר על הדיוק ונניח שניתן לבחור מספרים טבעיים לא חסומים באופן אחיד). המספרים זרים אם ורק אם אין ראשוני שמחלק את שניהם. הסיכוי שראשוני <math>p</math> מחלק כל אחד מהם היא <math>\tfrac{1}{p}</math>, ולכן הסיכוי שהוא מחלק את שניהם היא <math>\tfrac{1}{p^2}</math>. מכאן שהסיכוי שהוא לא מחלק את שניהם היא <math>1-\tfrac{1}{p^2}</math>. לכל שני ראשוניים שונים, המאורעות הללו [[תלות (הסתברות)|בלתי תלויים]] (מכיוון שמספר מתחלק בשני ראשוניים שונים אם ורק אם הוא מתחלק במכפלה שלהם). מכאן שההסתברות שאין ראשוני שמחלק את שני המספרים שנבחרו היא מכפלת ההסתברויות שכל ראשוני בנפרד לא מחלק את שניהם. כלומר ההסתברות היא:
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/מספרים_זרים"