תנועה מעגלית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Orlando1927 (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
Orlando1927 (שיחה | תרומות)
תיאור מתמטי מפורט, המשך התיאור בהמשך
שורה 2:
[[תמונה:Circular motion.PNG|שמאל|ממוזער|220px| כיווני המהירות והתאוצה בתנועה מעגלית]]
ב[[פיזיקה]], '''תנועה מעגלית''' היא תנועה של גוף על גבי [[מסלול (פיזיקה)|מסלול]] [[מעגל]]י. תנועה מעגלית נפוצה מאוד ב[[טבע]]. דוגמאות למערכות המתוארות על ידי תנועה מעגלית: [[לוויין]] המקיף את [[כדור הארץ]], מסה מסתובבת הקשורה לחוט מתוח ו[[מטען חשמלי]] ב[[שדה מגנטי]].
==תיאור מתמטי==
 
נוח לתאר תנועה מעגלית ב[[קואורדינטות קוטביות]] (על ידי הגדלים r ו-θ), כך שהגוף נמצא במרחק R קבוע ממרכז המעגל, אותו נגדיר כראשית הצירים ונטוי בזווית משתנה <math>\theta(t)</math> יחסית לציר מסוים.{{ש}}
על מנת למקם את הגוף במישור נעזר בווקטורי היחידה הפולריים המשתנים בזמן: {{ש}}
: <math>\
\begin{matrix}
\hat r(t) = \hat{e}_r(t) & = & \cos(\theta(t)) \hat{x} & + & \sin(\theta(t)) \hat{y} \\
\hat \theta(t) = \hat{e}_\theta(t) & = & - \sin(\theta(t)) \hat{x} & + & \cos(\theta(t)) \hat{y} \\
\end{matrix}
</math>{{ש}}
לפי כך, וקטור היחידה <math>\hat r(t)</math> כיוונו ממרכז המעגל כלפי הגוף, כלומר כיוונו רדיאלי ווקטור היחידה <math>\hat \theta(t)</math> כיוונו הוא ככיוון המשיק למעגל, כלומר כיוונו משיקי.{{ש}}
וקטור המיקום <math>\vec r(t)</math> הוא וקטור ממרכז המעגל למיקום הגוף ברגע ''t'':
:<math>\vec r(t) = R\hat r(t)</math>.
המהירות היא נגזרת וקטור המיקום לפי הזמן: {{ש}}
:<math> \vec v = \frac {d}{dt} \vec r(t) = \frac {d R}{dt} \hat r + R\frac {d \hat r } {dt} </math>{{ש}}
מכיוון שרדיוס התנועה ''R'' קבוע, נגזרתו שווה לאפס, לעומתו וקטור הכיוון <math>\hat r(t)</math> משתנה בזמן:{{ש}}
:<math>
\frac {d \hat r } {dt} = -\frac {d \theta } {dt}\sin\theta\hat x + \frac {d \theta } {dt}\cos\theta\hat y = \frac {d \theta } {dt}(-\sin\theta\hat x + \cos\theta\hat y) = \frac {d \theta } {dt}\hat \theta
</math>{{ש}}
נגדיר [[מהירות זוויתית]] <math>\omega(t)</math> כשינוי של הזווית לפי הזמן: <math>\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}</math> ולכן: <math>\frac {d \hat r } {dt} = \omega(t)\hat \theta</math>.{{ש}}
לפי כך וקטור המהירות המתקבל הוא: <math> \vec v = \omega(t)R\hat \theta </math>. כלומר, לגוף אין מהירות בכיוון הרדיאלי אלא רק בכיוון המשיקי, את מהירות זו נכנה '''המהירות המשיקית''' ונסמנה <math>v</math> כך ש-<math>v = \omega(t)R</math>.
==תנועה מעגלית קצובה==
תנועה מעגלית קצובה היא תנועה בה גודל ה[[מהירות]] לא משתנה אלא רק הכיוון שלה. מאחר שמהירות היא גודל [[וקטור (פיזיקה)|וקטורי]], תנועה זו איננה תנועה שוות מהירות. גודל התאוצה המקיימת תנועה מעגלית קצובה הוא <math>a_R=\frac{v^2}{R}</math> וכיוונה כלפי [[ציר סיבוב|ציר הסיבוב]] (מרכז המעגל). תאוצת הגוף אנכית למהירותו, כך שהמהירות בכיוון המשיק למעגל אינה משתנה.