ויקיפדיה

שבר יסודי – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
←‏חשבון מודולרי: לא רלוונטי לערך
אין תקציר עריכה
שורה 1:
'''שבר יסודי''' (ידוע גם כ'''שבר יחידה''', או '''שבר אוניטרי''' מהמונח האנגלי unit fraction) הוא [[מספר רציונלי]] הנכתב בצורת [[שבר (מתמטיקה)|שבר]], שבו המונה שווה ל-1 והמכנה הוא [[מספר טבעי]]. שבר יסודי הוא לפיכך ה[[מספר הופכי|הופכי]] של מספר טבעי, וצורתו
<math>\ \displaystyle tfrac{1\,\,} \over {n}</math>. דוגמאות לשבר יסודי הן <math>\ {\fractfrac{1}{1}= 1}</math>, <math>\ \fractfrac{1}{2}</math>, <math>\ \fractfrac{1}{3}</math>, <math>\ \fractfrac{1}{42}</math>, וכיוצא באלה.
 
כל מספר רציונלי <math>\ \fractfrac{m}{n}</math> ניתן לייצוג כסכום סופי של שברים יסודיים (לרוב בכמה אופנים).
 
==[[ארבע פעולות החשבון]]==
תוצאת [[כפל|ההכפלה]] של שברים יסודיים היא שבר יסודי: <math> \fractfrac{1}{x} \times \fractfrac{1}{y} = \fractfrac{1}{xy} </math>. לעומת זאת, פרי [[חיבור]], [[חיסור]] או [[חילוק]] של שברים יסודיים, לא יהיה תמיד שבר יסודי.
 
==סכומים סופיים של שברים יסודיים==
ניתן ליצג כל מספר רציונלי חיובי כסכום של שברי יחידה, במספר דרכים שונות. לדוגמה,
 
<math>\fractfrac{4}{5} = \fractfrac{1}{2} + \fractfrac{1}{4} + \fractfrac{1}{20} = \fractfrac{1}{3} + \fractfrac{1}{5} + \fractfrac{1}{6} + \fractfrac{1}{10}</math>.
 
בדומה ליוונים הקדמונים שלא קיבלו את קיומם של [[מספר אי רציונלי|מספרים אי-רציונליים]], המצרים הקדמונים לא הכירו בקיומם העצמאי של שברים כלליים. במקום זה, הציגו את כל השברים שלהם כסכום של שברים יסודיים. לכן, [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]] המוצגים כסכום של שברים יסודיים נקראים [[שבר מצרי|שברים מצריים]]. אפילו בתקופתנו ישנה התעניינות בניתוח שיטותיהם וסיבותיהם של הקדמונים להעדפת ובחירת יצוג אחד על-פני אחר, ולחישובים שעשו עם יצוגים כאלה. גם ל[[תורת המספרים]] המודרנית יש עניין רב בשברים מצריים; כך למשל [[השערת ארדש-גראהם]] ו[[השערת ארדש-שטראוס]] עוסקות בסכומים של שברים יסודיים, כך גם ההגדרה של [[מספר אור|מספרים אור-הרמוניים]].
שורה 17 ⟵ 18:
==טורים של שברים יסודיים==
שברים יסודיים הם איבריהם של [[טור (מתמטיקה)|טורים אינסופיים]] מוכרים רבים. בכללם:
* [[הסדרה ההרמונית|הטור ההרמוני]], הוא סכומם שלסכום כל השברים היסודיים החיוביים. הטור [[טור (מתמטיקה)#התכנסות של טור אינסופי|מתבדר]], וסכומיו החלקיים <math>\tfrac11+\tfrac12+\tfrac13+\cdots+\tfrac1n</math>
: הם קירוב טוב ל-<math>\ \gamma+\ln(n)</math> ([[קבוע אוילר]] ועוד [[הלוגריתם הטבעי]] של n) כש-n גדול.▼
: <br /><math>\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n</math>
* סכומם של השברים היסודיים שמכניהם הם המספרים הראושנייםהראשוניים הוא טור מתבדר, אשר מהווההמהווה קירוב טוב לפונקציה <math>\ln\ln n</math>▼
▲: הם קירוב טוב ל-<math>\ \gamma+\ln(n)</math> ([[קבוע אוילר]] ועוד [[הלוגריתם הטבעי]] של n) כש-n גדול.
:<math>\tfrac11+\tfrac12+\tfrac13+\cdots+\tfrac1n</math> הם קירוב טוב [[לוגריתם טבעי|ל-<math>\displaystyle \ln(n)</math>]] + [[קבוע אוילר|<math>\displaystyle\gamma</math>]] ([[קבוע אוילר]]) כש-''n'' עולה.▼
▲* סכומם של השברים היסודיים שמכניהם הם המספרים הראושניים הוא טור מתבדר, אשר מהווה קירוב טוב לפונקציה <math>\ln\ln n</math>
* [[בעיית בזל]] עוסקת בסכום הריבועים שלריבועי שברים יסודיים. המתמטיקאי [[לאונרד אוילר]] פתר את הבעיה והוכיח כי: <math>\sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n^2}=1+\tfrac{1}{2^2}+\tfrac{1}{3^2}+\tfrac{1}{4^2}+\cdots=\tfrac{\pi^2}{6}</math>.▼
: <br /><math>\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n</math>
* [[קבוע אפרי]], <math>\displaystyle\zeta(3)</math>, מוגדר כסכום החזקות השלישיות של שברים יסודיים.▼
▲: הם קירוב טוב [[לוגריתם טבעי|ל-<math>\displaystyle \ln(n)</math>]] + [[קבוע אוילר|<math>\displaystyle\gamma</math>]] ([[קבוע אוילר]]) כש-''n'' עולה.
▲* [[בעיית בזל]] עוסקת בסכום הריבועים של שברים יסודיים. המתמטיקאי [[לאונרד אוילר]] פתר את הבעיה והוכיח כי:
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>.
▲* [[קבוע אפרי]], <math>\displaystyle\zeta(3)</math>, מוגדר כסכום החזקות השלישיות של שברים יסודיים.
 
==[[מטריצה|מטריצות]] של שברים יסודיים==
[[מטריצת הילברט]] היא המטריצה שאיבריה נתונים על ידי הנוסחה
 
<math>B_{i,j} = \frac1tfrac1{i+j-1}</math>.
 
למטריצה התכונה המעניינת שכל האיברים [[מטריצה הפיכה|במטריצה ההופכית]] שלה הם מספרים שלמים. באופן דומה, המתמטיקאי ריצ'רדסון הגדיר מטריצה שאיבריה נתונים על ידי הנוסחה
 
<math>C_{i,j} = \frac1tfrac1{F_{i+j-1}}</math>,
 
כאשר <math> F_i</math> מסמל את האיבר ה-''i''-י ב[[סדרת פיבונאצ'י]]. באופן אנלוגי הומוריסטי, הוא מכנה את המטריצה הזו "מטריצת פילברט", והיא בעלת אותה התכונה המעניינת של מטריצת הילברט.
 
==שברים יסודיים ב[[הסתברות]] ו[[סטטיסטיקה]]==
שורה 44 ⟵ 42:
*[[מודל האטום של בוהר#רמות אנרגיית האלקטרון באטום מימן|רמות אנרגיית האלקטרון באטום]] [[מימן]] ב[[מודל האטום של בוהר]] [[פרופורציה|פרופורציונליות]] ל[[ריבוע (חזקה)|ריבועים]] של שברים יסודיים, לכן [[מודל האטום של בוהר#נוסחת רידברג|רמות האנרגיה]] של ה[[פוטון|פוטונים]] ש[[אטום]] מימן יכול לפלוט או לספוג תהיה פרופורציונלית להפרש הריבועים של שברים יסודיים, לפי המודל הזה.
 
*במשך זמן מה, האמינו כי ערכו של [[קבוע המבנה העדיןהדק]] שווה לשבר היסודי 1/137, אך כיום יודעים שסברה זו אינה נכונה.
 
==קישורים חיצוניים==
<div style="direction: ltr;">
* Richardson, Thomas M. (2001). [http://arxiv.org/abs/math.RA/9905079 "The Filbert matrix"]. ''Fibonacci Quart''. '''39''' (3): 268–275.
</div>
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/שבר_יסודי"