אי-שוויון צ'בישב – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 8:
מתקבלת הגרסה הבאה של אי-שוויון צ'בישב:
<math display="block">\operatorname{P}(|X-\operatorname{E}X|\geq C) \leq {\operatorname{Var}X \over C^2}</math>
בגרסתו זו, אי-שוויון צ'בישב מאפשר להעריך את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי כלשהו יסטה במידה זו או אחרת מהתוחלת שלו באופן מדויק יותר מ[[אי-שוויון מרקוב]] ונותן משמעות נוספת למושג ה[[שונות]]. בפרט נובע ממנו, שכאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת קטנה גם היא. בעזרת אי-שוויון צ'בישב אפשר להוכיח את [[החוק החלש של המספרים הגדולים]]. [[אי-שוויון צ'רנוף]] נותן גרסה חזקה יותר עבור [[התפלגות ברנולי|משתני ברנולי]].
שורה 19:
יותר או שווה לזה שהתחלנו ממנו:
<math display="block">\int_{\Omega}f^2(\omega)\,dP(\omega)\geq \int_{\{\omega: |f(\omega)|\geq C\}}f^2(\omega)\,dP(\omega)\geq\int_{\{\omega: |f(\omega)|\geq C\}}C^2\,dP(\omega)=C^2\operatorname{P}(|f|\geq C)</math>
ועל ידי חלוקה של שני האגפים ב <math>\,C^2</math> מקבלים את אי-שוויון צ'בישב.
| |||