|
[[תמונה:Sand_from_Wijk_aan_Zee%2C_the_Netherlands.jpg|שמאל|ממוזער|250px|גרגרי חול]]
'''פרדוקס הערימה''' הוא [[פרדוקס]] המייצג משפחה של פרדוקסים העוסקים בגבולות ו[[עמימות]]. -משפחה כלומר,זו פרדוקסמכונה '''פרדוקסים סוריטיים'''. פרדוקסים אלה העוסקעוסקים במתח שבין תיאורים מילוליים מעורפליםהנתפסים לכאורה כברורים ומדויקים, לבין ביטוייםכימות [[מתמטיקה|מתמטיים]]שלהם מדויקיםבפועל. השאלה שניצבת במרכזו של פרדוקס זההערימה היא "כמה גרגרים צריכים להיות בערימה כדי שתיחשב ערימה?". ישנהמחד נדמה שיש הסכמה כללית שגרגר [[חול]] אחד אינו נחשב ערימה, וכךומאידך גםכמות שניים.מסוימת גם שלושה וארבעהשל גרגרים אינםכן נחשבת נחשביםלערימה לרובלכל כערימההדעות. אם כך,כן מהימהו כמותהמספר המדויק שעד אליו אוסף הגרגרים המינימליתאינו בערימהנחשב ערימה, וממנו והלאה כן? 3? 55? 10,000? נדמה שלא ניתן לתת על כך תשובה חד משמעית.
באופן מובנה יותר, ניתן לתאר את הפרדוקס כמבוסס על שתי ההנחות הבאות שנדמות כמוסכמות:
נתאר את הפרדוקס מבחינה פורמלית.
# אם מסירים מהערימה גרגר חול אחד , היא נותרתאינו ערימה .▼# הוספת גרגר חול אחד לכל כמות גרגרי חול שהיא, אינה הופכת את הכמות המתקבלת לערימה.
ב[[אינדוקציה מתמטית]] ניתן להוכיח את הטענה המופרכת בעליל שלא קיימות ערימות חול בעולם. כלומר יש להוכיח שכל אוסף גרגרי חול אינו מהווה ערימה. אם כך עבור המקרה N=1, כלומר גרגר חול אחד, הטענה נובעת מההנחה הראשונה. כעת בהינתן שהטענה נכונה עבור N כלשהו, הרי שמההנחה השנייה נובע כי גם N+1 גרגרים אינם מהווים ערימה. כלומר אין ערימות חול בעולם.
נוכל להניח שלוש הנחות הגיוניות אלה:
#שלושה גרגרי חול אינם יוצרים ערימה.
#מיליון גרגרי חול יוצרים ערימה.
▲#אם מסירים מהערימה גרגר חול אחד, היא נותרת ערימה.
סתירה זו אינה מהווה פגם בתפיסת המציאות שלנו. הפרדוקס מדגים את העמימות המובנית של ה[[שפה]] האנושית. המונח "ערימה" אינו מבוסס על הגדרה החלטית ומדויקת, כי אם על מושג שתפיסתו היא מעורפלת וגמישה. איןיש שיאמרו שאין כלל מקום להפעיל על "ההגדרה"מונח דרכילשוני פעולהזה מתמטיותכלים לוגיים פורמליים מהסוג שהודגם כאן , שהרי לו הייתה הגדרה מדויקת למילה "ערימה", ההנחה השלישית לא הייתה נכונה, שהרי היה מספר מסוים של גרגרים היוצר הערימה. כל גרגיר חול אחד שיופחת יאיין את הגדרת הערימה. ▼באמצעות [[אינדוקציה מתמטית]], כשנצליח להוכיח כי שלושה גרגרי חול יוצרים ערימה, תיווצר סתירה בהנחות היסוד. להלן דרך ההוכחה: הנחת האינדוקציה - מיליון גרגרי חול יוצרים ערימה. צעד האינדוקציה - אם n גרגרי חול יוצרים ערימה, גם n-1 גרגרי חול יוצרים ערימה. מכאן נובע שלכל n טבעי, n-1 גרגרי חול הם ערימה. כאשר נגיע באמצעות האינדוקציה ל-3 גרגרים, הדבר יסתור את הנחתנו הראשונה.
כאמור, פרדוקס הערימה מייצג משפחה רחבה של פרדוקסים. כך ניתן להפעיל אותו על מגוון של מונחים לשוניים. למשל מאיזה גובה בדיוק אדם נחשב "גבוה"? או מאיזה אורך גל בדיוק נחשב צבע ל"אדום"? וכדומה. ניתן גם להפעיל אותו על שאלות מוסריות, כמו כמה אסירים יש לשחרר בכדי להציל חיים של חף מפשע? איזו הסתברות מספיקה בדיוק כדי להרשיע אדם בפלילים?
▲סתירה זו אינה מהווה פגם בתפיסת המציאות שלנו. הפרדוקס מדגים את העמימות המובנית של ה[[שפה]] האנושית. המונח "ערימה" אינו מבוסס על הגדרה החלטית ומדויקת, כי אם על מושג שתפיסתו היא מעורפלת וגמישה. אין כלל מקום להפעיל על "ההגדרה" דרכי פעולה מתמטיות מהסוג שהודגם כאן, שהרי לו הייתה הגדרה מדויקת למילה "ערימה", ההנחה השלישית לא הייתה נכונה, שהרי היה מספר מסוים של גרגרים היוצר הערימה. כל גרגיר חול אחד שיופחת יאיין את הגדרת הערימה.
ניתן אף לטעון שההגדרה שלנו לערימה לא מתבססת על כמות הגרגרים בערימה, אלא על סידורם של הגרגרים (רוב האנשים ידמיינו צורת [[חרוט]]). אפילו מיליון גרגרים יכולים להיות מסודרים בצורה כזו שהם לא יוגדרו ערימה (אם מפזרים אותם על פני משטח גדול). לכן ההנחה שמיליון גרגרי חול הם תמיד ערימה אינה מובנית מאליה כפי שהיא נדמית במבט ראשון.
אם נחליף את המונח "ערימה" במונח "הרבה", ונאמר כי "מיליון גרגרי חול הם הרבה", "שלושה גרגרי חול אינם הרבה", ו"אם נחסיר גרגר אחד מהרבה גרגרי חול, עדיין יוותרו הרבה", הפרדוקס עדיין יתקיים. שלוש האמירות, שנראות, כל אחת בנפרד, כהגיונית וסבירה, אינן מתיישבות זו עם זו כלל, ויוצרות פרדוקס. אלא, שהשימוש במונח "הרבה" במקום במונח "ערימה", מדגים באופן ברור יותר שיש מונחים בשפה האנושית אשר אין, ולא יכול להיות להם ייצוג בדמות הגדרה מתמטית מדויקת.
* {{בילצקי|פרק ג - פרדוקסים של עמימות}}
| 