משפט אוילר (גאומטריה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 5:
==הוכחה==
[[קובץ:GeometryEulerTheorem.png|שמאל|ממוזער|350px|תרשים של ההוכחה (כולל ההוכחה עצמה) נוצר על ידי תוכנת [[GeoGebra]]]]
נסמן ב-O את מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC, וב-I את מרכז המעגל החסום. נאריך את AI עד שיפגש עם המעגל החוסם ונסמן נקודה זאת ב-L, ואז נקודה L היא אמצע הקשת BC. נעביר את
2Rr = AI × BL. מתקיים
:<math>\angle BIL = \angle {A \over 2} + {\angle ABC \over 2}</math> וכן
:<math>\angle IBL = \angle {ABC \over 2} + \angle CBL = \angle {ABC \over 2} + \angle {A \over 2}</math> (זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש),
ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr. נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה. מתקיים PI × QI = AI × IL = 2Rr, ומכאן R + d)(R − d) = 2Rr), ולכן (d<sup>2</sup> = R(R − 2r. מש"ל.
==קישורים חיצוניים==
| |||