חבורה חופשית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 5:
אם שתי קבוצות X ו- Y הן בעלות אותה [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]], אז החבורות <math>\ \langle X\rangle</math> ו- <math>\ \langle Y\rangle</math> [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיות]] זו לזו. בפרט, את החבורה הנוצרת על ידי קבוצה (כלשהי) בגודל n מקובל לסמן ב- <math>\ \mathbb{F}_n</math>. מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא ה'''דרגה''' של החבורה. את הדרגה של חבורה חופשית <math>\ F</math> מסמנים ב- <math>\ rank(F)</math>. כך למשל <math>\ rank(\mathbb{F}_n)=n</math>.
הראשון להגדיר חבורה חופשית (נוצרת סופית) היה Walther von Dyck, ב-[[1882]], שביקש לתת תאור אלגברי מדוייק למושג הפעולה הגאומטרית של חבורה על המרחב. הוא הראה שכל חבורה נוצרת סופית היא מנה של חבורה חופשית. המשפט המשמעותי הראשון בתחום הנקרא היום [[תורת החבורות הקומבינטורית]] הוא [[משפט נילסן-שרייר]], הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית. אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה מ[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] סופי תמיד גדולה מזו של החבורה: אם F חופשית ו-<math>\ H \leq F</math> תת-חבורה מאינדקס סופי, אז <math>\ [F:H] = \frac{rank(H)-1}{rank(F)-1}</math>. אם F חבורה חופשית נוצרת סופית, אז לכל אנדומורפיזם <math>\ \sigma : F \rightarrow F</math>, תת-החבורה הקבועה <math>\ F^{\sigma} = \{x \in F : \sigma(x) = x\}</math> היא נוצרת סופית{{הערה|Goldstein-Turner 1986}}. אם <math>\ \sigma</math> אוטומורפיזם, הדרגה של <math>\ F^{\sigma}</math> אינה עולה על זו של F{{הערה|Bestvina-Handel 1992}}.
חבורה חופשית היא [[אובייקט חופשי]] ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של החבורות. בניסוח אחר, חבורה חופשית F עם קבוצת יוצרים X מקיימת את התכונה הבאה, הנקראת '''אוניברסליות''': לכל חבורה <math>\ G</math> ופונקציה <math>\ f:X\rightarrow G</math> קיים [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]] יחיד
| |||