השערת המספרים הראשוניים התאומים – הבדלי גרסאות

ב[[תורת המספרים]], '''השערת הראשוניים התאומים''' קובעת שישנם [[אינסוף]] זוגות של [[ראשוניים תאומים]], כלומר מספרים <math>\ p , p+2</math> ששניהם [[מספר ראשוני|ראשוניים]]. השערה זו היא אחת מן ה[[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיות הפתוחות]] המפורסמות בתורתב[[תורת המספרים]] וב[[מתמטיקה]] בכלל.

מתמטיקאים[[מתמטיקאי]]ם מאמינים שאכן ישנם אינסוף זוגות של ראשוניים תאומים, בגלל שורה של נימוקים [[היוריסטיקה|היוריסטיים]] המבוססים על תכונות [[סטטיסטיקה|סטטיסטיות]] של המספרים הראשוניים, ובגלל עדויות מספריות התומכות בהשערת הארדי-ליטלווד (ראו להלן). עם זאת, להשערה עדיין אין [[הוכחה]].

ידוע שאם [[טור ההופכיים של המספרים הראשוניים|מסכמים את ההופכיים של כל המספרים הראשוניים]], <math>\ \sum_{p} \frac{1}{p}</math>, ה[[טור (מתמטיקה)|טור]] [[התכנסות (מתמטיקה)|מתבדר]] וסכומו אינסופי. ליתר דיוק, הסכום <math>\ \sum_{p<x} \frac{1}{p}</math> שווה בקירוב ל- <math>\ \log\log(x)</math>. תוצאה זו מתאימה ל[[משפט המספרים הראשוניים]], שלפיו ישנם כ- <math>\ \frac{x}{\log(x)}</math> ראשוניים הקטנים מ- <math>\ x</math>.

בניגוד לכך, הראה [[ויגו ברון]] בשנת [[1915]], באמצעות פיתוח של [[שיטת הנפה]] המודרנית, שמספר המספרים הראשוניים התאומים הקטנים מ-x אינו עולה על <math>\ C \frac{x}{(\log x)^2}</math> עבור קבוע מסוים ''C > 0''. מכאן נובע שאם מסכמים את ההפכייםה[[מספר הופכי|הפכיים]] של הראשוניים התאומים בלבד, הטורה[[טור (מתמטיקה)#טורים אינסופיים|טור מתכנס]] ל[[גבול לגבול(מתמטיקה)|גבול]] סופי, הנקרא [[קבוע ברון]].

בשנת [[2013]], ארעה [[פריצת דרך]] חשובה, כאשר [[זאנג יטנג]] {{אנ|Yitang Zhang}} הצליח להוכיח שיש אינסוף זוגות של ראשוניים שהפרשם קטן מ-70,000,000{{הערה|1=[http://alaxon.co.il/daily/%D7%97%D7%99%D7%93%D7%AAחידת-%D7%94%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%90%D7%99המתמטיקאי-%D7%94%D7%90%D7%9C%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%99האלמוני חידת המתמטיקאי האלמוני - בדרך לפתרון השערת המספרים הראשוניים התאומים]}}. זאנג זכה בעקבות כך ב[[פרס אוסטרובסקי]] לשנת [[2013]] וב[[פרס קול]] לשנת [[2014]].

פרויקט מרובה משתתפים שהוקם בעקבות עבודתו של זאנג הצליח להוריד את ההפרש ל-5000. James Maynard הוריד את ההפרש ל-600 [http://arxiv.org/abs/1311.4600] באמצעות [[עידון (מתמטיקה)|עידון]] של [[משפט בומביירי-וינוגרדוב]].