משפט המספרים הראשוניים – הבדלי גרסאות

== הכללות ==

 

 

משפט המספרים הראשוניים סופר את הראשוניים בין 1 ל-x. בדומה לזה אפשר לנסות להעריך את מספר הראשוניים בקטע שאורכו x ומתחיל ב-y, כלומר את <math>\pi(x+y)-\pi(y)</math>, במיוחד כאשר x אינו גדול ביחס ל-y. האתגר הוא להוכיח את הקירוב <math>\ \pi(x+y)-\pi(y) \sim \frac{x}{\log y}</math> כאשר x קטן יחסית. אם <math>x = \lambda y</math> תוצאה זו נובעת מן המשפט. [[השערת רימן]], השקולה לקירוב משופר במשפט המספרים הראשוניים, מאפשרת להוכיח את אותה תוצאה גם עבור <math>\ x = \sqrt{y}\log y</math>. ללא השערת רימן, Heath-Brown הוכיח את הקירוב עבור <math>\ x = y^{7/11}</math>. סלברג הוכיח את הקירוב עבור <math>\ x = \log^2 y</math> לכמעט כל y, אבל ידוע שקירוב זה אינו נכון לכל y.