תבנית קילינג – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
(עריכה)
אין תקציר עריכה
'''הוכחה:''' נניח ש'''L''' פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>Rad(k)</math> אידאל פתיר, ולכן אפס. יהיו <math>x \in Rad(k) , y \in L</math>, מתקיים <math>Tr(ad(x)ad(y))=0</math>. זה נכון בפרט ל-<math>y \in [Rad(k),Rad(k)] \subseteq L</math>, ולכן לפי [[קריטריון קרטן]] <math>Rad(k)</math> פתיר.
 
''בכיוון ההפוך'', נניח ש-'''k''' רגולרית, כלומר <math>Rad(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של '''L''' פשוטה למחצה הוא שכל [[אידאל (אלגברת לי)|אידאל]] אבלי (אידאל '''I''' המקיים <math>[I,I]=0</math>) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה ב[[הסדרהאלגברת הנגזרתלי פתירה|סדרת הנגזרת]] שלו שיהיה אבלי ולא אפס).
 
אם כן יהי '''I''' אידאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו <math>x \in I, y \in L</math>, נביט במיפוי <math>ad(x)ad(y):L \rightarrow I</math>. אזי המיפוי בריבוע הוא <math>{(ad(x)ad(y))}^{2}:L \rightarrow [I,I]=0</math>, לכן <math>ad(x)ad(y)</math> [[איבר נילפוטנטי]], ולכן <math>k(x,y)=Tr(ad(x)ad(y))=0</math>. כלומר <math>I \subseteq