תבנית קילינג – הבדלי גרסאות

סקריפט החלפות (דוגמה)
אין תקציר עריכה
(סקריפט החלפות (דוגמה))
ב[[אלגברה מופשטת]], '''תבנית קילינג''' היא [[תבנית בילינארית]] הקשורה ל[[אלגברת לי]] נתונה. תפקידה המרכזי הוא במתן [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותה של אלגברת לי [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]].{{ש}}
התבנית נקראת על שם [[וילהלם קילינג]] {{אנ|Wilhelm Killing}}.
 
== הגדרה פורמלית ==
 
תהי '''L''' [[אלגברת לי]] נתונה מעל שדה '''F'''. '''תבנית קילינג''' של '''L''' היא התבנית <math>k(x,y)=Tr(ad(x)ad(y))</math>, כאשר '''ad''' הוא ה[[ייצוג הצמוד]] (adjoint representation) ו-'''Tr''' הינההיא ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]].
 
==תכונות בסיסיות==
'''משפט:''' תהי אלגברת לי '''L''' מעל [[שדה סגור אלגברית]] ובעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז '''L''' היא פשוטה למחצה [[אם ורק אם]] תבנית קילינג שלה [[תבנית בילינארית|רגולרית]].
 
'''הוכחה:''' נניח ש'''L''' פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>Rad(k)</math> אידאל פתיר, ולכן אפס. יהיו <math>x \in Rad(k) , y \in L</math>, מתקיים <math>Tr(ad(x)ad(y))=0</math>. זה נכון בפרט ל-<math>y \in [Rad(k),Rad(k)] \subseteq L</math>, ולכן לפי [[קריטריון קרטן]] <math>Rad(k)</math> פתיר.
 
''בכיוון ההפוך'', נניח ש-'''k''' רגולרית, כלומר <math>Rad(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של '''L''' פשוטה למחצה הוא שכל [[אידאל (אלגברת לי)|אידאל]] אבלי (אידאל '''I''' המקיים <math>[I,I]=0</math>) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה ב[[אלגברת לי פתירה|סדרת הנגזרת]] שלו שיהיה אבלי ולא אפס).
Rad(k)=0</math>, ולכן הוא אפס.
 
== דוגמאדוגמה ==
כאמור תבנית קילינג מהווה קריטריון להיות של אלגברת לי [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]]. בעזרתה אפשר להוכיח כי האלגברה
<math>sl(2,F)=\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}:a,b,c\in F\} </math> פשוטה למחצה.
מביא למטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 8 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> שהיא [[מטריצה הפיכה]].
 
זוהי למעשה דוגמאדוגמה לאלגברת לי פשוטה למחצה מממד 3, הנמוך ביותר האפשרי (כל אלגברת לי ממד 1 או 2 אינה פשוטה למחצה).
 
[[קטגוריה:חבורות לי]]