משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

מ
(בוט - מחליף 'דוגמא' ב'דוגמה')
יהא <math>\!\,X</math> מרחב מטרי. אז המרחב שלם אם ורק אם לכל סדרה <math>\left\{A_n\right\}_n</math> של קבוצות סגורות, כך שמתקיים <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math> וקוטר הקבוצות שואף לאפס (דהיינו <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>) - קיימת נקודה המשותפת לכל הקבוצות. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.
 
== תקציר ההוכחה בקליפת אגוז ==
 
כאשר המרחב שלם ו- <math>\ \{A_n\}</math> היא סדרה יורדת של קבוצות סגורות, אפשר [[אקסיומת הבחירה|לבחור]] נקודה <math>\ x_n \in A_n</math> בכל קבוצה. מכך שקוטר הקבוצות שואף לאפס נובע שהסדרה היא סדרת קושי, ולכן מתכנסת. מכיוון שכל הקבוצות סגורות, נקודת הגבול שייכת לכולן ולכן לחיתוך שלהן.
81,966

עריכות