אי-שוויון (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 79.182.135.112 (שיחה) לעריכה האחרונה של דניאל ב. |
|||
שורה 5:
==פעולות באי-שוויונות==
יחס הסדר על [[הישר הממשי]] הוא [[יחס סדר לינארי|לינארי]], כלומר, מבין כל שני מספרים שונים, אחד מוכרח להיות גדול מן השני. תכונה זו מאפשרת לשאול, בהינתן שני מספרים (או "תבניות מספר" - ערכים התלויים במשתנה אחד או יותר) a,b, איזה
<math>\ a=b</math> או <math>\ a>b</math>. בפרט, כל מספר ממשי אפשר להשוות לאפס - וכך מתקבלת החלוקה למספרים חיוביים, או בעלי "סימן חיובי" (אלו הגדולים מאפס) ושליליים, או בעלי "סימן שלילי" (אלו הקטנים מאפס).
משוואות כמו <math>\ 2x+4y=6, x-5y=0</math> אפשר לחבר, לחסר ולהכפיל (כל אגף בנפרד), והתוצאה המתקבלת היא משוואה חדשה. באי-שוויונות, הפעולות המותרות הבסיסיות הן כדלקמן:
# אם <math>\ a<b</math> אז לכל c, <math>\ a+c<b+c</math>;
# אם <math>\ a<b</math> ו-<math>\ d</math> חיובי, אז גם <math>\ ad<bd</math>; אם <math>\ d</math> שלילי, אז <math>\ ad>bd</math>;
# אם <math>\ a<b</math> וידוע ש<math>\ b</math> ,<math>\ a</math> חיוביים, אז גם <math>\ a^2<b^2</math>.
החוק השני מקנה לאיבר האפס מעמד מיוחד. כפי שהכפל באיבר חיובי שומר על כיוון האי-שוויון, כפל באיבר שלילי תמיד הופך אותו. (בפתרון של אי-שוויונות קורה שמכפילים בגודל שהסימן שלו אינו ידוע, וכדי לשמור על האי-שוויון שהוכפל, יש לבדוק בנפרד את שתי האפשרויות).
מן החוקים שהוזכרו לעיל, יחד עם התכונות הבסיסיות של יחס הסדר (ובפרט, ה[[טרנזיטיביות]] שלו) נובע גם ש-
# אם <math>\ a<b</math> ו- <math>\;c<d</math> אז <math>\ a+c<b+d</math>;
# אם <math>\ a<b</math> ו- <math>\ 0<c<d</math> אז <math>\ ac<bd</math>.
== מערכת של אי-שוויונות לינאריים ==
ה[[אלגברה לינארית|אלגברה הלינארית]] עוסקת במערכות של משוואות לינאריות בכמה נעלמים. הצעד הבסיסי בחקירת אי-שוויונות הוא הבנת המבנה הגאומטרי של מערכת השוויונות המתאימה (המתקבלת מהחלפת כל סימן אי-שוויון בסימן השוויון). כפי שמשוואה לינארית מגבילה את הפתרון ל[[על-מישור]] (שממדו קטן ב-1 מממד המרחב המקורי), כל אי-שוויון מגביל את הפתרון ל[[חצי-מרחב|חצי המרחב]] ("מעל" לשוויון ומתחתיו). מערכת של אי-שוויונות מגדירה [[פאון]] (לאו-דווקא חסום), העשוי להיות [[קבוצה ריקה|ריק]] אם אין למערכת פתרון. בעיות אופטימיזציה על קבוצות כאלה כרוכות ב[[תכנון לינארי]].
| |||