חבורת בראואר – הבדלי גרסאות

נוספו 58 בתים ,  לפני 7 שנים
תיקונים קלים
(חבורת בראוור 101)
 
(תיקונים קלים)
תהי <math>\mathbb{L}/ \mathbb{F}</math> [[הרחבת שדות]].
 
* ההעתקה <math>Br(\mathbb{F}) \rightarrow Br(\mathbb{L})</math> הנתונה על ידי <math>[R] \mapsto [R{ \otimes }_{\mathbb{F} }\mathbb{L}]</math> [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]], ומהווה [[הומומורפיזם]] חבורות. העתקה זו מכונה ה'''צמצום''' (Restriction) ומסומנת <math>{res}_{\mathbb{L}/ \mathbb{F}}</math>. ה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלה נקרא '''חבורת בראוור היחסית''' (relative Brauer group), ומסומנת <math>Br(\mathbb{L}/ \mathbb{F})</math>.
 
* אם <math>[R] \in Br(\mathbb{L}/ \mathbb{F})</math> אז <math>R \otimes \mathbb{L} {\sim}_{Br} \mathbb{L}</math>, ובמקרה זה <math>\mathbb{L}</math> נקרא '''שדה מפצל''' של האלגברה <math>R</math>.
 
* ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] <math>\overline { \mathbb{F} }</math> של <math>\mathbb{F}</math> הוא תמיד שדה מפצל של כל <math>\mathbb{F}</math>-אלגברה <math>R</math>, ולכן קיים מספר טבעי <math>n</math> כך ש-<math>R{\otimes}_{\mathbb{F}} (\overline{\mathbb{F}}) {\sim}_{Br} {M}_{n}(\overline{\mathbb{F}}) </math>, ולכן ממדו הוא <math>{n}^{2}</math>. המספר <math>n</math> נקרא ה'''דרגה''' של <math>R</math>, ומסמנים <math>n=deg(R)</math>. ה'''אינדקס''' של <math>R={M}_{t}(D)</math> הוא הדרגה של <math>D</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>, מסומן <math>ind(R)</math>, ומתקיים <math>deg(R)= t \cdot ind(R)</math>.
<math>R{\otimes}_{\mathbb{F}} (\overline{\mathbb{F}}) {\sim}_{Br} {M}_{n}(\overline{\mathbb{F}}) </math>
, ולכן ממדו הוא <math>{n}^{2}</math>. המספר <math>n</math> נקרא ה'''דרגה''' של <math>R</math>, ומסמנים <math>n=deg(R)</math>. ה'''אינדקס''' של <math>R={M}_{t}(D)</math> הוא הדרגה של <math>D</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>, מסומן <math>ind(R)</math>, ומתקיים <math>deg(R)= t \cdot ind(R)</math>.
 
* שדה <math>\mathbb{L}</math> מפצל את <math>R</math> אם ורק אם <math>\mathbb{L}</math> תת שדה מקסימלי של <math>R</math> המכיל את <math>\mathbb{F}</math>.
 
* ה'''אקספוננט''' של אלגברה <math>R</math> הוא ה[[סדר (תורת החבורות)|סדר]] של <math>[R] \in Br(\mathbb{F})</math>, ומסומן <math>exp(R)</math>. תמיד מתקיים <math>exp(R)|deg(R)</math>.