חבורת בראואר – הבדלי גרסאות

נוספו 3,135 בתים ,  לפני 7 שנים
הרחבה
אין תקציר עריכה
(הרחבה)
 
* לכל מספר <math>m</math>, מגדירים את החבורה <math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> להיות תת החבורה המכילה את כל האלגברות מאקספוננט <math>m</math>. אם <math>gcd([\mathbb{L}: \mathbb{F}],m)=1</math> העתקת הצמצמום מ-<math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> ל-<math>{Br(\mathbb{L})}_{m}</math> היא שיכון.
 
==חבורת בראוור וקהומולוגיה==
דרך הגדרה שקולה לחבורת בראוור היא בעזרת חבורת ה[[קוהומולוגיה]] הראשונה של [[החבורה הלינארית הכללית]] ה'''פרויקטיבית''' -
<math>{PGL}_{n}(\mathbb{K})={GL}_{n}(\mathbb{K})/Z({GL}_{n}(\mathbb{K}))</math>.
 
 
תהי <math>\mathbb{K} / \mathbb{F}</math> [[הרחבת שדות]] עם [[חבורת גלואה]] <math>G=Gal(\mathbb{K} / \mathbb{F})</math>.
 
נסמן ב<math>CSA_{\mathbb{K}}(n)</math> את ה<math>\mathbb{F}</math>-[[אלגברה פשוטה מרכזית|אלגברות הפשוטות המרכזיות]] מדרגה <math>n</math> המתפצלות על ידי <math>\mathbb{K}</math> (עד כדי איזומורפיזם). ישנה פעולה <math>CSA_{\mathbb{K}}(m) \times CSA_{\mathbb{K}}(n) \rightarrow CSA_{\mathbb{K}}(mn) </math> הנתונה על ידי ה[[מכפלה טנזורית]], היות ושדה פיצול של שתי אלגברות הוא גם שדה פיצול של ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]] שלהן.
 
יחס השקילות '''''שקולים בראוור''''' שהוצג לעיל הוא יחס על <math>\bigcup _{ n \in \mathbb{N} } { {CSA}_{\mathbb{K}}(n)} </math>, ואוסף מחלקות השקילות הוא בדיוק חבורת בראוור היחסית <math>Br(\mathbb{K} / \mathbb{F})</math>, וחבורת בראוור היא <math>\bigcup_{\mathbb{K}} {Br(\mathbb{K}/\mathbb{F})}</math>, כאשר האיחוד הוא על כל [[הרחבת גלואה|הרחבות הגלואה]] הסופיות.
 
 
כעת, נצטט את המשפט החשוב הבא:
 
''משפט'': יש התאמה חד חד ערכית: <math>{CSA}_{n}(\mathbb{K}) \leftrightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{n}(\mathbb{K}))</math>.
 
 
ממשפט זה יחד עם הפעולה <math>CSA_{\mathbb{K}}(m) \times CSA_{\mathbb{K}}(n) \rightarrow CSA_{\mathbb{K}}(mn) </math> לעיל, נובע שיש פעולה מתאימה
<math>{ \lambda }_{ mn }:{CSA}_{\mathbb{K}}(n) \times {H}^{1}(G,{PGL}_{m}(\mathbb{K})) \rightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{mn}(\mathbb{K}))</math>.
 
 
''משפט'': <math>{ \lambda }_{ mn }</math> חד חד ערכיות.
 
כלומר, אפשר לשכן חבורות קוהומולוגיה כנ"ל, ולכן נגדיר <math>{H}^{1}(G,{PGL}_{\infty}(\mathbb{K}))=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} {{H}^{1}(G,{PGL}_{n}(\mathbb{K}))}</math> (זהו למעשה [[גבול ישר]] ביחס להכלה כנ"ל). כעת, נגדיר <math>{H}^{1}(\mathbb{F},{PGL}_{\infty})=\bigcup_{\mathbb{K}} {{H}^{1}(G,{PGL}_{\infty}(\mathbb{K}))}</math>, כאשר האיחוד הוא על כל [[הרחבת גלואה|הרחבות הגלואה]] <math>\mathbb{K}</math> המוכלות בתוך [[סגור ספרבילי]] של <math>\mathbb{F}</math>.
 
המשפט המרכזי הוא:
 
'''''משפט''''': <math>Br(\mathbb{K} / \mathbb{F}) \cong {H}^{1}(G,{PGL}_{\infty}(\mathbb{K}))</math> ו-<math> Br(\mathbb{F}) \cong {H}^{1}(\mathbb{F},{PGL}_{\infty})</math>.
 
==ראו גם==
<div class="mw-content-ltr">
*Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, AMS, 447-461
</div>
 
<div class="mw-content-ltr">
*Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 29-33
</div>