עקמומיות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←עקמומיות ממוצעת: הגהה |
←Theorema Egregium: הרחבה, עריכה |
||
שורה 47:
:<math>H=\frac{R_1+R_2}{2}Q</math>
==עקמומיות אמיתית ועקמומיות מדומה==
עקמומיות מדומה, להבדיל מעקמומיות אמיתית, היא עקמומיות שניתן לסלקה, באמצעות טרנספורמציה מתאימה, מבלי לשנות את תכונות המרחב. משטח גלילי ומשטח חרוטי הם דוגמאות למשטחים בעלי עקמומיות מדומה, שניתן לפרשם למישור מבלי לשנות את תכונותיהם. משטח כדורי לעומת זאת הוא משטח בעל עקמומיות אמיתית ופרישתו תייצר מתיחות וחיתוכים. {{ש}}
עקמומיותו של משטח היא מדומה אם ''בכל'' נקודה על פניו ניתן למצוא לפחות כיוון אחד שבו קיים קו ישר הכלול במשטח עצמו. קווים מעין אלו מציינים למעשה את קיומו של כיוון או מספר כוונים שבהם העקמומיות במשטח היא אפס, ומעידים על האפשרות לסלק את העקמומיות באמצעות טרנספורמציה למערכת ייצוג שטוחה. אם בכל נקודה על פני משטח בעל עקמומיות פנימית, נבנה מערכת מקומית שטוחה (מישור מקומי המשיק למשטח בנקודה), ניתן יהיה לחבר את כלל המערכות השטוחות שניבנו לאורך קו שכזה לכדי מערכת שטוחה אחת, נעדרת עקמומיות.
{{ש}}
בהתייחס למרחבים מממדים שונים, מרחב שרכיבי ה[[טנסור]] שלו קבועים הוא מרחב שטוח או בעל עקמומיות מדומה. ומרחב שחלק או כל רכיבי הטנסור שלו הם משתנים תלויים הוא מרחב בעל עקמומיות אמיתית.
==עקמומיות חיצונית ופנימית==
עקמומיות היא תכונה של המרחב, יהא ממדו אשר יהא, הגלויה לעיני צופה חיצוני, אך יש שניתן לזהותה גם מתוך המרחב עצמו, באמצעות חקירת התכונות של עצמים גיאומטריים במרחב. ''עקמומיות פנימית'' היא עקמומיות מן הסוג השני, תכונה שגם 'תושבי' המרחב יכולים לזהותה ולא רק צופים חיצוניים. ''עקמומיות חיצונית'' לעומת זאת היא עקמומיות שלא ניתן להבחין בה מתוך המרחב עצמו והינה מובחנת רק לעיני צופה חיצוני, ממד גבוה יותר.
{{ש}}
עקמומיות גאוס, עקמומיות משטח, היא עקמומיות פנימית ולפי ה-[[Theorema Egregium]] (משפט בגיאומטריה דיפרנציאלית שהוכח על ידי [[קרל פרידריך גאוס]]) ניתן לזהותה באמצעות חקירת התכונות של עצמים גיאומטריים במרחב. היחס בין שטח מעגל לקוטרו, וסכום הזוויות במשולש, הן שתיים מן התכונות הגיאומטריות שבאמצעותן ניתן לזהות עקמומיות פנימית ולחשבה. תכונות אלו משתנות כתלות בעקמומיות הפנימית של המרחב. במישור (משטח שטוח) בו העקמומיות היא 0, שטח מעגל הוא <math>\pi R^2</math> וסכום הזוויות במשולש הוא <math>\pi</math>. עבור משטח המתאפיין בעקמומיות פנימית נקבל תוצאות שונות, המעידות על סטייתו מהמצב השטוח, שבאמצעותן נוכל להעריך את עקמומיותו הפנימית. ביצוע מדידות שכאלו בנקודות שונות של המרחב תאפשר שרטוט של מפת עקמומיות המרחב. במידה
===טנזור העקמומיות של רימן===
| |||