אקסיומה – הבדלי גרסאות

דרישה סבירה נוספת היא דרישת ה[[שלמות]], כלומר הדרישה שבאמצעות מערכת האקסיומות של תורה כלשהי ניתן יהיה להוכיח או להפריך כל טענה שניתן לנסח במסגרת תורה זו. [[משפטי האי-שלמות של גדל]] מוכיח שבכל מערכת עשירה מספיק של אקסיומות לא ניתן לקיים דרישה זו מבלי לוותר על דרישת העקביות.

 

 

אף שרעיון האקסיומה הוא מאבני היסוד של המתמטיקה, התפתחו ענפי מתמטיקה רבים ללא ביסוס אקסיומטי כלל, או עם בסיס אקסיומטי רופף. בשלהי [[המאה ה-19]] ובתחילת [[המאה ה-20]] עסקו המתמטיקאים באינטנסיביות בביסוס אקסיומטי של המתמטיקה, ונבחנו היטב מערכות האקסיומות שבבסיס ה[[גאומטריה]] ([[מערכת האקסיומות של הילברט]]), ה[[אריתמטיקה]] ([[מערכת פאנו|האקסיומות של פאנו]]) ו[[תורת הקבוצות]] ([[תורת הקבוצות האקסיומטית|האקסיומות של צרמלו-פרנקל]]). רק בשנת [[1933]] ניתן בסיס אקסיומטי ל[[תורת ההסתברות]] ([[אקסיומות ההסתברות|האקסיומות של קולמוגורוב]]).