|
[[Image:Hyperbolic triangle.svg|thumb|250px|left|ה-Theorema Elegantissimum1Elegantissimum ב[[גאומטריה היפרבולית]]; באיור מודגם משולש על פני משטח בצורת [[אוכף]]. עקמומיות המשטח שלילית ולכן סכום הזוויות במשולש קטן מ-180 מעלות.]]
[[תמונה:Triangle_sphérique.svg |שמאל|250px|ה-Theorema Elegantissimum ב[[גאומטריה כדורית]]; באיור מוראה משולש על פני משטח כדורי. עקמומיות המשטח חיובית ולכן סכום הזוויות במשולש גדול מ-180 מעלות.]]
ה-'''Theorema Elegantissimum''' (ב[[לטינית]]: '''המשפט האלגנטי''')'''Theorema Elegantissimum''', הוא משפט קלאסי ואלגנטי בגיאומטריה של משטחים, הנוגע לסכום הזוויות במשולש על פני משטח עקום. את המשפט, שהוכחשהוא עלמקרה פרטי של [[משפט גאוס-בונה]], ידיהוכיח [[קרל פרידריך גאוס]]. המשפט קובע כי ה'''מגרעת''' הזוויתית של המשולש, כלומר ההפרש בין סכום זוויותיו ל-180 מעלות, שווה לאינטגרל על [[עקמומיות]] (עקמומיות גאוס) המשטח בתחום המשולש.
== ניסוח מדויק ==
גאוס הוכיח שאם T הוא משולש גאודטי, אזי מתקיים <math>\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA</math>, כאשר הגודל :<math>\iint_T K \,dA</math> נקראהוא '''העקמומיות הכוללת''' (Total Curvature) של המשטח בתחום המשולש T. באופן כללי יותר, אם P הוא מצולע גאודטי בעל n צלעות, אזי סכום זוויותיו מקיים : <math>\sum_{i=1}^n \theta_i = (n - 2)\pi + \iint_P K \,dA</math>.▼
גאוס הוכיח שאם T הוא משולש גאודטי, אזי מתקיים:
<math>\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA</math>
▲הגודל :<math>\iint_T K \,dA</math> נקרא '''העקמומיות הכוללת''' (Total Curvature) של המשטח בתחום המשולש T. באופן כללי יותר, אם P הוא מצולע גאודטי בעל n צלעות, אזי סכום זוויותיו מקיים:
:<math>\sum_{i=1}^n \theta_i = (n - 2)\pi + \iint_P K \,dA</math>
==מסקנות מן המשפט==
* כמסקנה מן המשפט נובע שסכום הזוויות המירבי של משולש על פני כדור הוא 540 מעלות.
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
| 