תבנית ביליניארית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 5:
אפשר להכליל את ההגדרה גם לפונקציות הפונקציה <math>\ B : V \times W \rightarrow F</math>, אם כי בדרך כלל המרחבים V,W שווים או [[מרחב דואלי|דואליים]] זה לזה. המונח [[אופרטור בילינארי]] מכסה העתקות ממכפלה של שני מרחבים וקטוריים למרחב שלישי, עם ההכללה הטבעית ל[[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]].
== מטריצה מייצגת ==
אם <math>\ S = \{b_1,\dots,b_n\}</math> הוא [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] של המרחב V מעל F, אז '''המטריצה המייצגת''' של התבנית הבילינארית <math>\ B : V \times V \rightarrow F</math> היא המטריצה <math>\ [B]_S = (B(b_i,b_j)) \in M_{n}(F)</math>. המעבר לבסיס אחר מחליף את המטריצה המייצגת במטריצה מהצורה <math>\ P[B]_SP^{tr}</math>, כאשר P [[מטריצה הפיכה]]. כל תבנית אפשר לייצג על-ידי מטריצה. משום כך, הצורה הכללית ביותר של תבנית בילינארית מעל המרחב הוקטורי <math>\ F^n</math> היא <math>\ B(\vec{x},\vec{y}) = \sum_{i,j} a_{ij}x_iy_j</math>, כאשר <math>\ a_{ij}</math> קבועים. תבנית זו אפשר לכתוב גם כך: <math>\ B(u,v) = u^T M v</math>.
[[מכפלה פנימית]] היא סוג מיוחד של תבנית בילינארית המוגדרת מעל [[שדה המספרים הממשיים]] (או [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]]). המטריצה הריבועית M מגדירה [[מכפלה פנימית]] אם ורק אם היא [[מטריצה חיובית לחלוטין|חיובית לחלוטין]].
== מרחב התבניות ==
מרחב התבניות הבילינאריות על מרחב וקטורי V ממימד n, הינו מרחב וקטורי בעצמו ממימד <math> \ n^2 </math>; מסמנים אותו ב-<math>\ \operatorname{Bil} = \operatorname{Bil}(V)</math>.
תבנית בילינארית B היא:
שורה 14 ⟵ 20:
* '''אנטי-סימטרית''' אם לכל <math>\ u,v \in V</math> מתקיים <math>\ B(u,v)=-B(v,u)</math>;
* '''מתחלפת''' אם לכל <math>\ u \in V</math> מתקיים <math>\ B(u,u)=0</math>.
(תבנית היא סימטרית, אנטי-סימטרית או מתחלפת אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה, בבסיס כלשהו, היא כזו).
את אוספי התבניות האלו מסמנים ב-<math>\ \operatorname{Sym}, \operatorname{Asym}, \operatorname{Alt}</math>, בהתאמה; אלו תת-מרחבים של <math>\ \operatorname{Bil}</math>. מעל שדה ממאפיין שונה מ-2,
== הרדיקל ==▼
יש פירוק לסכום ישר <math>\ \operatorname{Bil} = \operatorname{Sym} \oplus \operatorname{Alt}</math>, ו-<math>\ \operatorname{Asym} = \operatorname{Alt}</math>. במאפיין 2 המצב שונה בתכלית: <math>\ \operatorname{Alt} \subset \operatorname{Sym}</math>, ואילו <math>\ \operatorname{Asym} = \operatorname{Sym}</math>.
▲== הרדיקל ==
לכל תבנית בילינארית B (על המרחב מממד סופי V) יש '''רדיקל שמאלי''' <math>\ rad(B) = \{x \in V | B(x,V)=0\}</math>, ו'''רדיקל ימני''' <math>\ rad(B) = \{x \in V | B(V,x)=0\}</math>; לשניהם אותו ממד. אם התבנית סימטרית (או אנטי-סימטרית), הרדיקלים שווים זה לזה. תבנית היא '''רגולרית''' אם הרדיקל שלה הוא אפס (ו'''סינגולרית''' אחרת). תבנית היא רגולרית אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה (ביחס לבסיס כלשהו) היא הפיכה.
{{אלגברה לינארית}}
| |||