תבנית ביליניארית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
'''תבנית בילינארית''' היא פונקציה בשני משתנים <math>\ B : V \times V \rightarrow F</math>, כאשר V [[מרחב וקטורי|מרחב וקטורי]] מעל שדה הבסיס F, שהיא לינארית בכל אחד משני המשתנים שלה.
תבנית בילינארית מגדירה את ה[[תבנית ריבועית|תבנית הריבועית]] <math>\ Q(x) = B(x,x)</math>. מעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אפשר להציג כל תבנית ריבועית על-ידי תבנית בילינארית סימטרית, ולשחזר את התבנית הביליניארית מן התבנית הריבועית על-ידי '''הזהות הפולרית''' <math>\ B(x,y) = \frac{1}{2}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))</math>. מסיבה זו, במאפיין שונה מ-2, התאוריה של תבניות בילינאריות סימטריות זהה למעשה לזו של תבניות ריבועיות. במאפיין שונה מ-2 המושגים קרובים מאד, אך יש ביניהם הבדלים חשובים.
==מבוא==
יהיו F [[שדה (
אפשר להכליל את ההגדרה גם לפונקציות הפונקציה <math>\ B : V \times W \rightarrow F</math>, אם כי בדרך כלל המרחבים V,W שווים או [[מרחב דואלי|דואליים]] זה לזה. המונח [[אופרטור בילינארי]] מכסה העתקות ממכפלה של שני מרחבים וקטוריים למרחב שלישי, עם ההכללה הטבעית ל[[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]].
שורה 25 ⟵ 27:
יש פירוק לסכום ישר <math>\ \operatorname{Bil} = \operatorname{Sym} \oplus \operatorname{Alt}</math>, ו-<math>\ \operatorname{Asym} = \operatorname{Alt}</math>. במאפיין 2 המצב שונה בתכלית: <math>\ \operatorname{Alt} \subset \operatorname{Sym}</math>, ואילו <math>\ \operatorname{Asym} = \operatorname{Sym}</math>.
== פירוק לתת-מרחבים ==
== הרדיקל ==▼
תהי B תבנית בילינארית מעל מרחב V. פירוק לסכום ישר <math>V = V_1 \oplus V_2</math> שעבורו <math>\ B(V_1,V_2) = B(V_2,V_1) = 0</math> נקרא '''פירוק אורתוגונלי''' (של המרחב), וכותבים <math>\ V = V_1 \perp V_2</math>. במקרה זה אפשר לשחזר את B מן הצמצום שלה לתת-המרחבים <math>\ V_1,V_2</math> (ולכן זהו פירוק גם של התבנית).
▲=== הרדיקל ===
לכל תבנית בילינארית B (על המרחב מממד סופי V) יש '''רדיקל שמאלי''' <math>\ rad(B) = \{x \in V | B(x,V)=0\}</math>, ו'''רדיקל ימני''' <math>\ rad(B) = \{x \in V | B(V,x)=0\}</math>; לשניהם אותו ממד. אם התבנית סימטרית (או אנטי-סימטרית), הרדיקלים שווים זה לזה. תבנית היא '''רגולרית''' (או '''לא מנוונת''') אם הרדיקל שלה הוא אפס (ו'''סינגולרית''' אחרת). תבנית היא רגולרית אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה (ביחס לבסיס כלשהו) היא הפיכה.▼
כל תבנית בילינרית סימטרית (במאפיין כלשהו) אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי של שני חלקים: תבנית האפס, ועוד תבנית רגולרית.
=== איזוטרופיות, תבניות מטאבוליות והיפרבוליות ===
וקטור x ב-V הוא '''וקטור איזוטרופי''' אם <math>\ B(x,x) = 0</math>. אם אין וקטור כזה (פרט ל-0), התבנית '''אנאיזוטרופית'''. תת-מרחב U של V הוא '''תת-מרחב איזוטרופי''' אם <math>\ B(U,U) = 0</math>.
אם B תבנית רגולרית, הממד של תת-מרחב איזוטרופי אינו עולה על מחצית הממד של V. תבנית שיש לה תת-מרחב איזוטרופי שממדו מחצית הממד של V, נקראת '''תבנית מטאבולית'''. התבנית עם המטריצה המייצגת <math>\ \left(\begin{array}{c} 0 & 1 \\ -1 & 0\right)</math> נקראת '''המישור ההיפרבולי''', ומסמנים אותו ב-<math>\ \mathbb{H}</math>; סכום אורתוגונלי של עותקים של המישור ההיפרבולי הוא '''מרחב היפרבולי'''. כל מרחב היפרבולי הוא מטאבולי, ובמאפיין שונה מ-2 המושגים מתלכדים. כל מרחב מטאבולי אפשר לפרק לסכום אורתוגונליים של מישורים מטאבוליים. כל מישור מטאבולי הוא מישור היפרבולי, או מישור עם מטריצה מייצגת מהצורה <math>\ \left(\begin{array}{c} a & 0 \\ 0 & -a\right)</math> (ובמאפיין שונה מ-2 כל אלו איזומטריים למישור ההיפרבולי). אם הסכום של תבנית מטאבולית ותבנית רגולרית b הוא מטאבולי, אז b מטאבולית.
=== משפט הפירוק של ויט ===
▲לכל תבנית בילינארית B (על המרחב מממד סופי V) יש '''רדיקל שמאלי''' <math>\ rad(B) = \{x \in V | B(x,V)=0\}</math>, ו'''רדיקל ימני''' <math>\ rad(B) = \{x \in V | B(V,x)=0\}</math>; לשניהם אותו ממד. אם התבנית סימטרית (או אנטי-סימטרית), הרדיקלים שווים זה לזה. תבנית היא '''רגולרית''' אם הרדיקל שלה הוא אפס (ו'''סינגולרית''' אחרת). תבנית היא רגולרית אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה (ביחס לבסיס כלשהו) היא הפיכה.
תבנית חד-ממדית שהמטריצה המייצגת שלה היא (a) מסמנים ב-<math>\ \langle {a}\rangle</math>. סכום אורתוגונלי של תת-מרחבים חד-ממדיים נקרא '''תבנית אלכסונית'''. כל תבנית רגולרית סימטרית (במאפיין כלשהו) אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי של תבנית אלכסונית, ומרחב היפרבולי. לפי '''משפט הפירוק של ויט''', כל תבנית רגולרית אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי של תבנית אנאיזוטרופית יחידה, ותבנית מטאבולית (שהיא יחידה במאפיין שונה מ-2). במאפיין 2 החלק המטאבולי של הפירוק אינו יחיד; למשל, <math>\ \langle 1,1,-1 \rangle \cong \langle 1 \rangle \perp \mathbb{H}</math>.
{{אלגברה לינארית}}
| |||