עוצמה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MathKnight (שיחה | תרומות) ←שקילות בין קבוצות: הרחבה |
|||
שורה 31:
תוצאה שאינה מובנת מאליה היא הוכחתו של [[גאורג קנטור]] שה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] החיוביים הם [[קבוצה בת מנייה]], כלומר, קיימת [[התאמה חד-חד ערכית]] בינם לבין ה[[מספר|מספרים הטבעיים]].
ניתן לראות זאת בנקל על ידי יצירת שתי פונקציות חד חד ערכיות, האחת מהרציונליים החיוביים אל הטבעיים, והשנייה מהטבעיים אל הרציונלים החיוביים. נקרא להן <math>f : \mathbb{Q} \to \mathbb{N}</math> ו-<math>g : \mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math>:
:<math>
\!\,
שורה 43:
הפונקציה הראשונה היא חד-חד ערכית, שכן לכל מספר טבעי הצגה ייחודית כמכפלת מספרים ראשוניים (לפי [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]]). הפונקציה השנייה היא חד-חד ערכית בהגדרה. אמנם אף לא אחת מהפונקציות היא על, אבל לפי [[משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]], קיומן של שתי פונקציות חד חד ערכיות - אחת מקבוצה א' ל-ב' ואחת מ-ב' ל-א', מבטיח שקיימת פונקציה שלישית שהיא חד-חד ערכית ועל מ-א' ל-ב', ולכן, לפי ההגדרה הקבוצות הן בעלות עוצמה שווה.
מכאן גם קל להסיק שעוצמת כל המספרים הרציונליים שווה לעוצמת המספרים הטבעיים. מאחר שעוצמת הרציונליים החיוביים שווה לעוצמת הטבעיים, ניתן לסדרם ב[[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]]: <math>q_1,q_2,q_3,...,q_n,...</math>. כעת את כל הרציונליים (כולל 0 והשליליים) נסדר באופן הבא:
: <math>0, q_1, -q_1, q_2, -q_2, q_3, -q_3, ... , q_n , -q_n , ... </math>
וסדרה זו מגדירה פונקציית שקילות (חח"ע ועל) מ-<math>\mathbb{N}</math> (הטבעיים) ל-<math>\mathbb{Q}</math> (כל הרציונליים).
==ריבוי עוצמות==
| |||