פונקציה חסומה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) +essentially bounded |
||
שורה 22:
* הפונקציה <math>f(x)=e^x</math> חסומה מלמטה כי <math>e^x > 0</math> לכל <math>x \in \mathbb{R}</math> אך איננה חסומה מלמעלה.
* הפונקציה <math>f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}</math> חסומה. מלמטה היא חסומה על ידי 0 כי היא תמיד חיובית ומלמעלה היא חסומה על ידי 1 שכן <math>1 \le 1 + x^2</math> לכל <math>x \in \mathbb{R}</math>. למעשה, <math>\operatorname{Im}f = f(\mathbb{R}) = (0,1]</math>.
==פונקציות חסומות בעיקר==
ב[[תורת המידה]], מונח הפונקציה החסומה איננו מספיק - פונקציות יכולות לקבל גם ערכים אינסופיים, ולכן, למשל, לפי ההגדרות לעיל ה[[פונקציית דלתא של דיראק|פונקציה]]
<math>f(x)=\begin{cases} \infty \quad \quad x=0 \\ 0\quad \quad \quad x\neq 0 \end{cases}</math>
איננה חסומה.
כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את ה- essential supremum וה- essential infimum של [[מידה (מתמטיקה)|פונקציה מדידה]] באופן הבא:
<math>esssup(f)=inf\{a \in \mathbb{R} : \mu(f^{-1}(a,\infty) )=0\}</math>
<math>essinf(f)=sup\{a \in \mathbb{R} : \mu(f^{-1}(-\infty,a) )=0\}</math>
ואומרים שפונקציה היא '''חסומה בעיקר''' אם <math>|esssup(f)|< \infty, |essinf(f)|<\infty</math>.
הגדרה זו שימושית בעיקר ב[[תורת המידה]], בהגדרת ה[[מרחב Lp|מרחב]] <math>L^\infty</math> באופן קונסיסטנטי. ראו גם [[נורמת הסופרמום]].
{{קצרמר|מתמטיקה}}
| |||