חבורת בראואר – הבדלי גרסאות

אין שינוי בגודל ,  לפני 7 שנים
מ
בוט החלפות: \1היות ש, \1תת-
(הרחבה)
מ (בוט החלפות: \1היות ש, \1תת-)
* ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] <math>\overline { \mathbb{F} }</math> של <math>\mathbb{F}</math> תמיד שדה מפצל של כל <math>\mathbb{F}</math>-אלגברה <math>R</math>, ולכן קיים מספר טבעי <math>n</math> כך ש-<math>R{\otimes}_{\mathbb{F}} (\overline{\mathbb{F}}) {\sim}_{Br} {M}_{n}(\overline{\mathbb{F}}) </math>, ולכן ממדו הוא <math>{n}^{2}</math>. המספר <math>n</math> נקרא ה'''דרגה''' של <math>R</math>, ומסמנים <math>n=deg(R)</math>. ה'''אינדקס''' של <math>R={M}_{t}(D)</math> הוא הדרגה של <math>D</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>, מסומן <math>ind(R)</math>, ומתקיים <math>deg(R)= t \cdot ind(R)</math>.
 
* שדה <math>\mathbb{L}</math> מפצל את <math>R</math> אם ורק אם <math>\mathbb{L}</math> תת -שדה מקסימלי של <math>R</math> המכיל את <math>\mathbb{F}</math>.
 
* ה'''אקספוננט''' של אלגברה <math>R</math> הוא ה[[סדר (תורת החבורות)|סדר]] של <math>[R] \in Br(\mathbb{F})</math>, ומסומן <math>exp(R)</math>. תמיד מתקיים <math>exp(R)|deg(R),exp(R)|ind(R)</math>, וכל ראשוני המחלק את <math>ind(R)</math> מחלק את <math>exp(R)</math>.
* תכונה חשובה נוספת של חבורת ברואוור היא שהיא חבורת [[פיתול (אלגברה)|פיתול]], כלומר חבורה בה כל איבר <math>R</math> מקיים <math>R \otimes ... \otimes R \cong {M}_{n}(\mathbb{F})</math>. מספר ההכפלות שיש לבצע מחלק את <math>\sqrt {[R:\mathbb{F}]}</math> (להוכחה והכללה של הטענה ראו בקריאה הנוספת).
 
* לכל מספר <math>m</math>, מגדירים את החבורה <math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> להיות תת -החבורה המכילה את כל האלגברות מאקספוננט <math>m</math>. אם <math>gcd([\mathbb{L}: \mathbb{F}],m)=1</math> העתקת הצמצמום מ-<math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> ל-<math>{Br(\mathbb{L})}_{m}</math> היא שיכון.
 
==חבורת בראוור וקהומולוגיה==
תהי <math>\mathbb{K} / \mathbb{F}</math> [[הרחבת שדות]] עם [[חבורת גלואה]] <math>G=Gal(\mathbb{K} / \mathbb{F})</math>.
 
נסמן ב<math>CSA_{\mathbb{K}}(n)</math> את ה<math>\mathbb{F}</math>-[[אלגברה פשוטה מרכזית|אלגברות הפשוטות המרכזיות]] מדרגה <math>n</math> המתפצלות על ידי <math>\mathbb{K}</math> (עד כדי איזומורפיזם). ישנה פעולה <math>CSA_{\mathbb{K}}(m) \times CSA_{\mathbb{K}}(n) \rightarrow CSA_{\mathbb{K}}(mn) </math> הנתונה על ידי ה[[מכפלה טנזורית]], היות ושדהששדה פיצול של שתי אלגברות הוא גם שדה פיצול של ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]] שלהן.
 
יחס השקילות '''''שקולים בראוור''''' שהוצג לעיל הוא יחס על <math>\bigcup _{ n \in \mathbb{N} } { {CSA}_{\mathbb{K}}(n)} </math>, ואוסף מחלקות השקילות הוא בדיוק חבורת בראוור היחסית <math>Br(\mathbb{K} / \mathbb{F})</math>, וחבורת בראוור היא <math>\bigcup_{\mathbb{K}} {Br(\mathbb{K}/\mathbb{F})}</math>, כאשר האיחוד הוא על כל [[הרחבת גלואה|הרחבות הגלואה]] הסופיות.