זהות קפלי – הבדלי גרסאות

בתורת החוגים, '''זהות קפלי''' היא הזהות <math> c_n=0</math>, כאשר <math> c_n</math> הוא '''פולינום קפלי''' ב-2n משתנים, <math> c_n = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) x_{\sigma(1)}y_1 x_{\sigma(2)}y_2 \cdots x_{\sigma(n)}y_n</math> הוא '''פולינום קפלי''' ב-2n משתנים. כל אלגברה מממד קטן מ-n מקיימת את הזהות <math> c_n=0</math>. התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת ה[[חוג עם זהויות|חוגים עם זהויות]] ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי.

הזהות <math> c_n=0</math> נובעת מן הזהות <math> c_{n-1}=0</math>, כך שהתנאי <math> c_n=0</math> הולך ונעשה חלש כאשר n גדל. פולינום f נקרא '''n-מתחלף''' אם לכל <math> 1\leq i,j \leq n</math> מתקיים <math> f(...,x_i,...,x_j,...) = -f(...,x_j,...,x_i,...)</math>. פולינום קפלי ה-n-יתי הוא n-מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה-n-מתחלף הכללי ביותר: <math> c_n=0</math> היא זהות של האלגברה A, אם ורק אם כל פולינום n-מתחלף הוא זהות של A. לדוגמא, את הזהות הסטנדרטית <math> s_n = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)x_{\sigma(1)}\cdots x_{\sigma(n)} </math> אפשר להסיק מהזהות <math> c_n </math> על-ידי ההצבה <math> y_i \mapsto 1</math> (והיא אכן n-מתחלפת).

אלגברת המטריצות <math> M_n(F)</math> (מעל שדה F) מקיימת את זהות קפלי <math> c_{n^2+1}</math>, אבל לא את הזהות <math> c_{n^2}</math>. האלגברה <math> M_n(R)</math> מקיימת את <math> c_{n^2+1}</math> אם ורק אם R קומוטטיבי. אם A אלגברה מעל שדה F ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים <math>\ \chi_n(A) = V_n / (V_n \cap \operatorname{id}(A))</math> (כאשר <math>\ V_n</math> הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים <math>\ x_1,\dots,x_n</math>), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות <math>\ S_n</math> על-ידי פעולת ההצבה. תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה A מקיימת את זהות קפלי <math> c_m</math> אם ורק אם [[דיאגרמת יאנג]] של כל תת-הצגה אי-פריקה של <math>\ \chi_n(A)</math> היא בעלת פחות מ-m שורות.