מחלקה מונוטונית – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
(ערך חדש לטובת משפט פוביני.)
 
אין תקציר עריכה
'''מחלקה מונוטונית''' היא משפחה של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] שהיא בעלתהמקיימת תכונות [[סגירות (אלגברה)|סגירות]] מסוימות.
 
משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקה מונוטונית לבין [[סיגמא-אלגברה]], וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות ב[[תורת המידה]] וב[[תורת ההסתברות]], כדוגמת [[משפט פוביני]].
 
==הגדרותהגדרה==
 
תהי <math>X</math> קבוצה. משפחה של תתי-קבוצות <math>\mathcal{M} \subset \mathcal{P}(X)</math> נקראת '''מחלקה מונוטונית''', אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
 
לסיום, קל לראות שמחלקה מונוטונית הסגורה למשלים סגורה גם לאיחודים סופיים, ועל כן <math>\mathcal{C}(\mathcal{A})</math> מהווה אלגברה.
 
==משפט המחלקה המונוטונית לפונקציות==
 
'''משפט:''' תהי <math>\mathcal{A}</math> [[π-מערכת]] המכילה קבוצה <math>\omega</math>, ותהי <math>\mathcal{H}</math> משפחה של פונקציות <math>\omega \to \mathbb{R}</math>, המקיימת את שלוש התכונות הבאות:
# לכל <math>A \in \mathcal{A}</math> מתקיים <math>1_A \in \mathcal{H}</math>.
# אם <math>f,g \in \mathcal{H}</math> אז <math>f+g \in \mathcal{H}</math> וכן <math>cf \in \mathcal{H}</math> לכל <math>c \in \mathbb{R}</math>.
# לכל סדרה מונוטונית עולה של פונקציות אי-שליליות <math>\left\{f_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{H}</math> המתכנסת לפונקציה גבולית <math>f</math>, מתקיים <math>f \in \mathcal{H}</math>.
 
אזי <math>\mathcal{H}</math> מכילה את כל הפונקציות החסומות והמדידות ביחס לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי <math>\mathcal{A}</math>.
 
===הוכחה===
 
הוכחה זו מבוססת על [[משפט π−λ]].
 
ההנחה כי <math>\omega \in \mathcal{A}</math> יחד עם תכונות 2,3 גוררת כי המשפחה <math>\mathcal{G}=\left\{A | 1_A \in \mathcal{H} \right\}</math> מהווה [[λ-מערכת]].
 
מתכונה 1 וממשפט π−λ נובע כי <math>\sigma(\mathcal{A} \subset \mathcal{G}</math>.
 
תכונה 2 מראה כי <math>\mathcal{H}</math> מכילה את כל ה[[פונקציה פשוטה|פונקציות הפשוטות]], ומתכונה 3 נובע כי היא מכילה את כל הפונקציות המדידות והחסומות, שכן כל פונקציה מדידה וחסומה היא גבול של פונקציות פשוטות.
 
 
[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]
משתמש אלמוני