מחלקה מונוטונית – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
==משפט המחלקה המונוטונית לפונקציות==
 
'''משפט:''' תהי <math>\mathcal{A}</math> [[π-מערכת]] המכילה קבוצה <math>\omegaOmega</math>, ותהי <math>\mathcal{H}</math> משפחה של פונקציות <math>\omegaOmega \to \mathbb{R}</math>, המקיימת את שלוש התכונות הבאות:
# לכל <math>A \in \mathcal{A}</math> מתקיים <math>1_A \in \mathcal{H}</math>, כאשר <math>1_A</math> היא ה[[פונקציה מציינת|פונקציה המציינת]].
# אם <math>f,g \in \mathcal{H}</math> אז <math>f+g \in \mathcal{H}</math> וכן <math>cf \in \mathcal{H}</math> לכל <math>c \in \mathbb{R}</math>.
# לכל סדרה מונוטונית עולה של פונקציות אי-שליליות <math>\left\{f_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{H}</math> המתכנסת לפונקציה גבולית <math>f</math>, מתקיים <math>f \in \mathcal{H}</math>.
הוכחה זו מבוססת על [[משפט π−λ]].
 
ההנחה כי <math>\omegaOmega \in \mathcal{A}</math> יחד עם תכונות 2,3 גוררת כי המשפחה <math>\mathcal{G}=\left\{A | 1_A \in \mathcal{H} \right\}</math> מהווה [[λ-מערכת]].
 
מתכונה 1 וממשפט π−λ נובע כי <math>\sigma(\mathcal{A} \subset \mathcal{G}</math>.
משתמש אלמוני