משפט פוביני – הבדלי גרסאות

נוספו 1,411 בתים ,  לפני 6 שנים
ההוכחה הנפוצה למשפט עושה שימוש ב[[משפט המחלקה המונוטונית]]. מבנה ההוכחה הוא כדלהלן: (1) תחילה מוכיחים את המשפט עבור פונקציות מדידות מסוג מסוים במרחבי מידה סופיים, (2) מכלילים את המשפט למרחבים סיגמא-סופיים, (3) מכלילים את המשפט לפונקציות מדידות כלליות.
 
#* נניח כי שני המרחבים הם מרחבי מידה סופיים.{{ש}} בהינתן קבוצה <math>E \in \mathcal{M} \times \mathcal{N}</math>, לכל <math>y \in Y</math> נגדיר <math>E^y = \left\{ x \in X | (x,y) \in E \right\}</math>. נגדיר פונקציה <math>f:Y \to [0,\infty)</math> על ידי <math>f(y) = \mu(E^y)</math>.{{ש}} תהי <math>\mathcal{A}</math> האלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות <math>A \times B</math> עבור <math>A \in \mathcal{M}, B \in \mathcal{N}</math>, ותהי <math>\mathcal{C}</math> אוסף כל הקבוצות המדידות שעבורן מתקיים המשפט. נראה כי <math>\mathcal{C}</math> היא [[מחלקה מונוטונית]] וכי <math>\mathcal{A} \subset \mathcal{C}</math>, ומ[[משפט המחלקה המונוטונית]] נוכל להסיק כי <math>\mathcal{M} \otimes \mathcal{N} = \sigma(\mathcal{A}) \subset \mathcal{C}</math>, כנדרש.{{ש}}בהינתן <math>A \times B \in \mathcal{A}</math>, מתקיים כי <math>f(y) = \mu(E^y) = 1_B(y) \cdot \mu(A)</math> ולכן ניתן להסיק מיד כי <math>f</math> פונקציה מדידה. אם כך נובע כי <math>\int_Yf(y)d\nu = \int_Y1_B(y) \mu(A)d\nu = \mu(A)\nu(B)=\mu \times \nu (A \times B)</math>, כאשר השוויון האחרון הוא מהגדרת מידת המכפלה. באותו אופן ניתן להראות את הטענה עבור <math>E_x = \left\{ y \in Y | (x,y) \in E \right\}</math> ועבור הפונקציה <math>g(x) = \nu(E_x)</math>. מכאן כי <math>\mathcal{A} \subset \mathcal{C}</math>.{{ש}}כדי להראות כי <math>\mathcal{C}</math> היא מחלקה מונוטונית יש להראות סגירות לאיחוד שרשראות עולות וחיתוך שרשראות יורדות, אך זה לא קשה להסיק תוך שימוש ב[[משפט ההתכנסות המונוטונית]].
 
# כעת נניח כי שני המרחבים הם סיגמא-סופיים. נציג <math>X = \bigcup_{i=1}^{\infty}X_i , Y = \bigcup_{i=1}^{\infty}Y_i</math> כאשר מידות הקבוצות באיחוד סופיות כולן, ונניח ללא הגבלת הכלליות כי אלו איחודים של שרשראות עולות.{{ש}}בהינתן <math>E</math> מדידה, בהמשך לסימונים הקודמים ניתן להסיק מהמקרה הסופי כי מתקיים <math>\mu \times \nu (E \cap(X_i \times Y_i)) = \int\nu(E^y \cap X_i) \cdot 1_{Y_i}d\nu</math>, ולכן תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית נובע שבגבול כאשר <math>i \to \infty</math> מתקיים <math>\mu \times \nu (E) = \int_Y \mu(E^y)d\nu</math>.
בהינתן <math>A \times B \in \mathcal{A}</math>, מתקיים כי <math>f(y) = \mu(E^y) = 1_B(y) \cdot \mu(A)</math> ולכן ניתן להסיק מיד כי <math>f</math> פונקציה מדידה. אם כך נובע כי <math>\int_Yf(y)d\nu = \int_Y1_B(y) \mu(A)d\nu = \mu(A)\nu(B)=\mu \times \nu (A \times B)</math>, כאשר השוויון האחרון הוא מהגדרת מידת המכפלה. באותו אופן ניתן להראות את הטענה עבור <math>E_x = \left\{ y \in Y | (x,y) \in E \right\}</math> ועבור הפונקציה <math>g(x) = \nu(E_x)</math>. מכאן כי <math>\mathcal{A} \subset \mathcal{C}</math>.{{ש}}כדי להראות כי <math>\mathcal{C}</math> היא מחלקה מונוטונית יש להראות סגירות לאיחוד שרשראות עולות וחיתוך שרשראות יורדות, אך זה לא קשה להסיק תוך שימוש ב[[משפט ההתכנסות המונוטונית]].
 
# כעת נניח כי שני המרחבים הם סיגמא-סופיים. נציג <math>X = \bigcup_{i=1}^{\infty}X_i , Y = \bigcup_{i=1}^{\infty}Y_i</math> כאשר מידות הקבוצות באיחוד סופיות כולן, ונניח ללא הגבלת הכלליות כי אלו איחודים של שרשראות עולות.{{ש}} בהינתן <math>E</math> מדידה, בהמשך לסימונים הקודמים ניתן להסיק מהמקרה הסופי כי מתקיים <math>\mu \times \nu (E \cap(X_i \times Y_i)) = \int\nu(E^y \cap X_i) \cdot 1_{Y_i}d\nu</math>, ולכן תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית נובע שבגבול כאשר <math>i \to \infty</math> מתקיים <math>\mu \times \nu (E) = \int_Y \mu(E^y)d\nu</math>.
 
כעת נראה את המקרה הכללי של המשפט. תהי <math>f:X \times Y \to \mathbb{C}</math> פונקציה אינטגרבילית במרחב המכפלה. נניח ללא הגבלת הכלליות כי <math>f</math> פונקציה ממשית ואי-שלילית (כי כל פונקציה ממשית היא הפרש של זוג פונקציות חיוביות, וכל פונקציה מרוכבת היא סכום של שתי פונקציות ממשיות). נדון תחילה ב[[פונקציה מציינת|פונקציות מציינות]] מהצורה <math>f=1_E</math> עבור קבוצה מדידה <math>E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}</math>, אז כפי שנובע מהחלק הקודם של ההוכחה מתקיים כי:
<center>
<math>\int_{X \times Y}1_Ed(\mu \times \nu) = \mu \times \nu (E) = \int_Y\nu(E^y)d\nu = \int_Y \left( \int_X \mu(E^y)d\nu \right) = \int_Y \left( \int_X f^yd\nu \right) </math>
</center>
[[פונקציות פשוטות]] הן צירוף לינארי של פונקציות מציינות, ולכן המשפט נובע גם לגביהן מידית מלינאריות אינטגרל לבג. כעת, תוך שימוש ב[[משפט ההתכנסות המונוטונית]] ובעובדה שכל פונקציה מדידה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות, קל להסיק את הטענה לכל פונקציה מדידה.
 
==הערות שוליים==
משתמש אלמוני