משפט פוביני – הבדלי גרסאות

נוספו 785 בתים ,  לפני 6 שנים
(הסתיימה ההוכחה.)
==הכרחיות התנאים==
 
המשפט מתייחס לפונקציות אינטגרביליות לבג בלבד, וכן נוספה הדרישה כי המרחבים יהיו סיגמא-סופיים. להלן שתי דוגמאות נגדיות המבהירות מדוע דרישות אלו הכרחיות.
 
==כישלון משפט פוביני עבור פונקציות לא אינטגרביליות==
דוגמה שממחישה את הכרחיות הדרישה שהפונקציה תהיה אינטגרבילית, היא מרחב המידה <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> עם הסיגמא-אלגברה <math>2^{\mathbb{N}} \otimes 2^{\mathbb{N}}</math> ביחס למידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] שלה). נתבונן בפונקציה:
 
דוגמהנתבונן שממחישה את הכרחיות הדרישה שהפונקציה תהיה אינטגרבילית, היא מרחבבמרחב המידה <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> עם הסיגמא-אלגברה <math>2^{\mathbb{N}} \otimes 2^{\mathbb{N}}</math> ביחס למידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] שלה). נתבונן בפונקציה:
<center>
<math>
</math>
</center>
 
פונקציה זו אינה איטגרבילית, שכן ביחס לעותק הראשון של המרחב האינטגרל הוא <math> \infty </math>, וביחס לעותק השני של המרחב האינטגרל הוא <math> -\infty </math>. כמו כן, לא קשה לראות שאינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון היא סכימה של <math> (1-1)+(1-1)+... </math> ולכן האינטגרל הוא אפס, ולעומת זאת אינטגרציה תחילה לפי העותק השני היא סכימה של <math> 1+(1-1)+(1-1)+... </math>, ולכן האינטגרל הוא אחד. כלומר סדר האינטגרציה משנה את ערך האינטגרל.
 
דוגמה נוספת היא הפונקציה:
דוגמה שממחישה את הכרחיות הדרישה שהמרחבים יהיו סיגמא־סופיים, היא מרחב המידה <math>[0,1] \times [0,1] </math>, כאשר העותק הראשון מצויד בסיגמא־אלגברת בורל ו[[מידת לבג]] והעותק השני מצויד בסיגמא־אלגברה <math>2^{\mathbb{N}}</math> ומידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] שלה). ברור שהעותק השני אינו מרחב סיגמא־סופי.
<center>
<math>\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\arctan(y/x)</math>
</center>
המוגדרת על ריבוע היחידה <math>[0,1] \times [0,1]</math>. פונקציה זו אינה אינטגרבילית ומקיימת:
<center>
<math>\int_0^1 \int_0^1 \left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right|\,\text{d}y\,\text{d}x=\infty</math>
</center>
 
לא קשה לראות כי סדר החישוב משנה את ערך האינטגרל, שכן מצד אחד:
<center>
<math>\int_{x=0}^1\left(\int_{y=0}^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\frac{\pi}{4}</math>
</center>
ומצד שני:
<center>
<math>\int_{y=0}^1\left(\int_{x=0}^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=-\frac{\pi}{4}</math>
</center>
 
===כישלון משפט פוביני עבור מרחבים לא סיגמא-סופיים===
דוגמהנתבונן שממחישה את הכרחיות הדרישה שהמרחבים יהיו סיגמא־סופיים, היא מרחבבמרחב המידה <math>[0,1] \times [0,1] </math>, כאשר העותק הראשון מצויד בסיגמא־אלגברת בורל ו[[מידת לבג]] והעותק השני מצויד בסיגמא־אלגברה <math>2^{\mathbb{N}}</math> ומידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] שלה). ברור שהעותק השני אינו מרחב סיגמא־סופי.
 
לא קשה לראות שבמרחב זה, קבוצת האלכסון <math> \{ (x,x) | x \in [0,1] \}</math> היא בעלת מידה אפס אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון, ולעומת זאת היא בעלת מידה 1 אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק השני.