משפט נילסן-שרייר – הבדלי גרסאות

מ (הוספת קטגוריה:אקסיומת הבחירה באמצעות HotCat)
הוכחה קצרה המבוססת על [[טופולוגיה אלגברית]] נמצאה על ידי [[ריינהולד בר]] ו[[פרידריך לוי]].
 
תהי <math>\ \langle X\rangle</math> חבורה חופשית. נסתכל על ה[[מולטיגרף]] עם צומת אחד ועם <math>|X|</math> קשתות המחברות את הצומת לעצמו. זהו [[מרחב טופולוגי]] המתקבל מלקיחת <math>|X|</math> מעגלים והדבקתם זה לזה בנקודה אחת משותפת לכל המעגלים. ה[[חבורה יסודית|חבורה היסודית]] של המולטיגרף היא <math>\ \langle X\rangle</math> - כל לולאה המקיפה את אחת הקשתות פעם אחת היא יוצר (נובע מ[[משפט ואן קמפן]]). כל תת-חבורה של החבורה היסודית היא חבורה יסודית של [[מרחב כיסוי]]. קל לראות שכול מרחב כיסוי של מולטיגרף הוא גם מולטיגרף. מכאן שאם נוכיח שהחבורה היסודית של מולטיגרף היא תמיד חופשית, נקבל את משפט נילסן-שרייר.
 
נבחר [[עץ פורש]] של המולטיגרף (להוכחת קיומו נחוצה [[אקסיומת הבחירה]], אם הגרף אינסופי) ונמשוך את ענפיו לתוך השורש באופן רציף. פורמלית, אנחנו מסתכלים על העתקת המנה של [[מרחב מנה (טופולוגיה)|מרחב המנה]] של המולטיגרף מודולו העץ הפורש (כל הנקודות על העץ מזוהות כנקודה אחת). באופן כזה נקבל מולטיגרף [[שקילות הומוטופית|שקול הומוטופית]] למולטיגרף המקורי שיש לו צומת אחד. החבורה היסודית נשמרת תחת שקילות הומוטופית וכבר קבענו שהחבורה היסודית של מולטיגרף עם צומת אחד היא חבורה חופשית, ומכאן שכל חבורה יסודית של מולטיגרף היא חופשית.