תבנית ביליניארית – הבדלי גרסאות

תבנית בילינארית מגדירה את ה[[תבנית ריבועית|תבנית הריבועית]] <math>\ Q(x) = B(x,x)</math>. מעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אפשר להציג כל תבנית ריבועית על- ידי תבנית בילינארית סימטרית, ולשחזר את התבנית הביליניאריתהבילינארית מן התבנית הריבועית על- ידי '''הזהות הפולרית''' <math>\ B(x,y) = \frac{1}{2}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))</math>. מסיבה זו, במאפיין שונה מ-2, התאוריה של תבניות בילינאריות סימטריות זהה למעשה לזו של תבניות ריבועיות. במאפיין שונה מ-2 המושגים קרובים מאד, אך יש ביניהם הבדלים חשובים.

אם <math>\ S = \{b_1,\dots,b_n\}</math> הוא [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] של המרחב V מעל F, אז '''המטריצה המייצגת''' של התבנית הבילינארית <math>\ B : V \times V \rightarrow F</math> היא המטריצה <math>\ [B]_S = (B(b_i,b_j)) \in M_{n}(F)</math>. המעבר לבסיס אחר מחליף את המטריצה המייצגת במטריצה מהצורה <math>\ P[B]_SP^{tr}</math>, כאשר P [[מטריצה הפיכה]]. כל תבנית אפשר לייצג על- ידי מטריצה. משום כך, הצורה הכללית ביותר של תבנית בילינארית מעל המרחב הוקטוריהווקטורי <math>\ F^n</math> היא <math>\ B(\vec{x},\vec{y}) = \sum_{i,j} a_{ij}x_iy_j</math>, כאשר <math>\ a_{ij}</math> קבועים. תבנית זו אפשר לכתוב גם כך: <math>\ B(u,v) = u^T M v</math>.