מערכת משוואות ליניאריות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 160:
בנעלמים x ו y (מודגשים), הפתרון נתון על ידי הנוסחאות <math> \mathbf{x} = \frac { \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { ed - bf \over ad - bc}</math> ו- <math> \mathbf{y} = \frac { \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { af - ec \over ad - bc}</math>.
== המשמעות הגרפית של הפתרונות ==
[[קובץ:משוואות.jpeg|אין|שמאל|תמונה]]
הישרים יכולים:
1. להיחתך בנקודה אחת.
2. להיות מקבילים.
3. להתלכד.
המצב של הישרים ישפיע על מספר הפתרונות של המערכת. עבור מערכת הנתונה בצורה המפורשת מספר הפתרונות נקבע ע"פ התנאים הבאים:
פתרון אחד
כאשר הישרים חותכים אחד את השני בנקודה אחת למערכת יהיה פתרון אחד ויחיד, והמשמעות הגאומטרית היא שלישרים שיפוע שונה. מבחינת המשוואות, למשוואות יהיה פתרון יחיד כאשר:
אף פתרון
כאשר הישרים מקבילים למערכת לא יהיה פתרון, והמשמעות הגיאומטרית היא שלשני הישרים שיפוע זהה אך הם אינם חותכים את ציר y באותה נקודה. מבחינת המשוואות, למערכת לא יהיה פתרון כאשר:
אינסוף פתרון
כאשר הישרים מתלכדים למערכת יהיו אינסוף פתרונות, והמשמעות הגיאומטרית היא שלשני הישרים שיפוע זהה והם חותכים את ציר y באותה נקודה. מבחינת המשוואות, למערכת יהיו אינסוף פתרונות כאשר:
== חקירה ==
כאשר המערכת נתונה בצורה הכללית , ניתן לנסח תנאים על המקדמים A, B ו- C מתוך הקשר בינם לבין המקדמים של של המשוואה המפורשת, m ו- n:
1. פתרון יחיד
על מנת שלמערכת יהיה פתרון יחיד צריך שיתקיים:
אם נכפיל משוואה זו ב-
<math>
\dfrac{B_1}{A_2}
</math>
תתקבל המשוואה :
<math>
\dfrac{A_1}{A_2}
\neq
\dfrac{B_1}{B_2}
</math>
כלומר:
אם היחס בין מקדמי המשתנים של x ו- y, שונה – למערכת פתרון יחיד
2. אף פתרון- על מנת שלמערכת לא יהיה פתרון כלל צריכים להתקיים שני תנאים :
<math>
m_1
=
\dfrac{A_1}{B_1}
=
\dfrac{A_2}{B_2}
=
m_2
</math>
וגם
<math>
n_1
=
\dfrac{C_1}{B_1}
\neq
\dfrac{C_2}{B_2}
=
n_2
</math>
דוגמה לחקירה היא התרגיל הבא:
<math>
\begin{cases} x+(4-a)y=a-1\\ x(2-2a)-4y=-a \end{cases}
</math>
<math>
\begin{cases} -(2-2a)x-(2-2a)(4-a)y=-(2-2a)(a-1)\\ x(2-2a)-4y=-a \end{cases}
</math>
<math> (-2a^2+10a-12)y=2a^2-5a+2</math>
תחום ההגדרה של התרגיל:
<math>a\neq 2 a\neq 3 </math>
<math>
y=
\dfrac{(a-2)(2a-1)}{(6-2a)(a-2)}
</math>
<math>
y=a-3
</math>
<math>\Downarrow</math>
<math>
x=a-1-(a-4)
\dfrac{(2a-1)}{2(3-a)}
</math>
<math>
\dfrac{a+2}{2(a-3)}
</math>
פתרון יחיד:
<math>
(\dfrac{a+2}{2(a-3)}
,
a-3)
</math>
{{אלגברה לינארית}}
| |||