הקבוצה הנגזרת – הבדלי גרסאות

 

ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של קבוצה A במרחב טופולוגי X שווה לאיחוד <math>\ \overline{A} = A \cup A'</math>, ולכן A סגורה אם ורק אם <math>\ A' \subseteq A</math>. הקבוצה A נקראת '''קבוצה מושלמת''', אם <math>\ A = A'</math>: הקבוצות המושלמות הן קבוצות סגורות, ללא אף [[נקודה מבודדת]].

 

מקובל להגדיר ששני מרחבים טופולוגיים הם [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפיים]] אם יש העתקה חד-חד-ערכית מהראשון על משנהו, המעבירה את הקבוצות הפתוחות מן המרחב הראשון אל הקבוצות הפתוחות בשני. באופן שקול לזה, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית f מהראשון על משנהו, כך שמתקיים <math>\ f(A') = f(A)'</math> לכל קבוצה A.

ובהינתן אופרטור כזה, אפשר לשחזר ממנו את הטופולוגיה, אם נבחין שקבוצה U היא פתוחה אם ורק אם היא זרה לנגזרת <math>\ (U^{c})'</math> של הקבוצה המשלימה.

 

 

לכל [[מספר סודר]] <math>\ \alpha</math> אפשר להגדיר את '''נגזרת קנטור-בנדיקסון''' מסדר <math>\ \alpha</math> של מרחב טופולוגי X, ב[[אינדוקציה טרנספיניטית]]: