הבדלים בין גרסאות בדף "חוג נתרי"

הוסרו 78 בתים ,  לפני 5 שנים
מ
כתיב
מ (דוד שי העביר את הדף חוג נותרי ל־חוג נתרי תוך דריסת הפניה: דף השיחה)
מ (כתיב)
ב[[אלגברה מופשטת]], '''חוג נותרינתרי''' (או '''חוג נתרי''') הנו [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] עם יחידה המקיים את [[תנאי שרשרת (מתמטיקה)|תנאי השרשרת העולה]] (ACC - Ascending Chain Condition) על ה[[אידאל (אלגברה)|אידאלים]] השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של [[אמי נתר]] אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה [[דויד הילברט]]. מתנאי השרשרת נובע שכל [[אידאל שמאלי]] של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נותרייםנתריים. במידה ידועה, "[[תורת החוגים"]] עוסקת בעיקר בחוגים נותרייםנתריים, משום שחוגים שאינם נותרייםנתריים הם פראיים ומסובכים מכדי שאפשר יהיה להבינם.
 
אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא של[[אידאל ראשוני|אידאלים הראשוניים]] יש [[גובה של אידאל|גובה]] סופי - ולכן אפשר ללמוד את ה[[ספקטרום של חוג|ספקטרום]] באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידאלים ראשוניים. גובהם של האידאלים הראשוניים סופי, אבל אינו בהכרח חסום, ולכן ישנם חוגים נותרייםנתריים ש[[ממד קרול]] שלהם אינסופי. עם זאת, ל[[אלגברה אפינית|אלגברות אפיניות]] (קומוטטיביות), שהן אחד המקורות העיקריים לדוגמאות של חוגים נותרייםנתריים, יש ממד קרול סופי.
 
תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים [[חוג ארטיני|ארטיניים]]. הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נותרינתרי ([[משפט הופקינס-לויצקי]]). חוגים נותרייםנתריים מקיימים את תנאי [[משפט גולדי]], על שיכון חוגים ראשוניים (למחצה) בחוגים ארטיניים פשוטים (למחצה).
 
אוסף החוגים הנותרייםהנתריים סגור ביחס לפעולות אלגבריות מסוימות: חוג מנה של חוג נותרינתרי הוא נותרינתרי, וגם מכפלה ישרה של שני חוגים נותרייםנתריים היא נותריתנתרית. לעומת זאת, (ובניגוד למצב עבור [[מודול נותרינתרי|מודולים נותרייםנתריים]]), תת-חוג של חוג נותרינתרי אינו בהכרח נותרינתרי. חוג הוא נותרינתרי אם ורק אם כל המודולים הנוצרים סופית מעליו הם נותרייםנתריים. חוג פולינומים מעל חוג נותרינתרי הוא נותרינתרי, וחוג המטריצות מעל חוג נותרינתרי הוא נותרינתרי.
 
==הגדרות==
הנותריותהנתריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי האידאלים השמאליים. באופן דומה אפשר להגדיר גם:
* '''חוג נותרינתרי-ימני''' - חוג המקיים את התנאי ACC על אידאלים ימניים
* '''חוג נותרינתרי חלש''' - חוג המקיים את התנאי ACC על אידאלים דו-צדדיים
ישנם חוגים נותרייםנתריים שאינם נותרייםנתריים ימניים (ולהפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.
 
===קריטריון לחוג נותרינתרי===
חוג הוא נותרינתרי אם ורק אם הוא [[מודול נותרינתרי|נותרינתרי]] כ[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל עצמו (משום שהאידאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).
 
* "'''תנאי המקסימום'''" (לאידאלים שמאליים) קובע שבכל קבוצה לא ריקה של אידאלים שמאליים בחוג <math>\ R</math>, קיים איבר מקסימלי, כלומר אידאל שלא מוכל באף אידאל אחר מהקבוצה (אף על פי שאידאל כזה בדרך כלל אינו [[אידאל מקסימלי]]). חוג R הוא נותרינתרי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי המקסימום על אידאלים שמאליים.
מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידאל שמאלי בחוג מוכל באידאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי [[הלמה של צורן]].
* '''"תנאי הבסיס הסופי"''': כל אידאל שמאלי <math>\ I</math> ב-<math>\ R</math> נוצר סופית (כלומר קיימים <math>\ a_1, a_2,..., a_n</math> ב-<math>\ R</math> כך ש <math>\ I=Ra_1+Ra_2+...+ Ra_n</math>). החוג R מקיים תנאי זה אם ורק אם הוא נותרינתרי.
 
'''משפט'''. חוג קומוטטיבי הוא נותרינתרי אם ורק אם כל אידאל ראשוני נוצר סופית.
 
==תכונות==
* בחוג נותרינתרי <math>\ R</math>, כל אידאל מכיל מכפלה (סופית) של אידאלים ראשוניים. מוכיחים זאת באמצעות תנאי המקסימום. בפרט, יש מכפלה של אידאלים ראשוניים השווה לאפס (בתחומי-שלמות נותרייםנתריים אידאל האפס הוא בעצמו ראשוני).
 
* כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא חוג נותרינתרי. זה נובע מכך שהאידאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-<math>\ \{0\}</math>.
* [[משפט הבסיס של הילברט]]: אם <math>\ R</math> חוג נותרינתרי אז <math>\ R[x]</math> חוג נותרינתרי (<math>\ R[x]</math> הוא חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל <math>\ R</math>). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של [[דויד הילברט|הילברט]] עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
* כל [[הומומורפיזם|תמונה הומומורפית]] <math>\ R'</math> של חוג נותרינתרי <math>\ R</math> היא נותריתנתרית בעצמה. במלים אחרות, אם <math>\ R</math> חוג נותרינתרי ו-<math>\ I</math> אידאל, אז חוג המנה <math>\ R/I</math> גם הוא נותרינתרי. ('''הוכחה''': כל אידאל של חוג המנה הוא תמונה של אידאל של R, הנוצרת על ידי תמונתה של קבוצת יוצרים סופית שם).
משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נותריתנתרית.
 
* כל [[תחום שלמות]] נותרינתרי <math>\ R</math> הוא [[תחום אטומי|אטומי]], כלומר: כל איבר <math>\ a</math> שאינו [[איבר הפיך|הפיך]] אפשר להציג כמכפלה של [[איבר אי-פריק|איברים אי-פריקים]] מתוך <math>\ R</math>.
'''הוכחה:''' נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נותרינתרי. נניח ש-a הוא איבר לא הפיך ב-R, ונגדיר את הסדרה <math>\left\{a_n\right\}</math> על ידי הכללים: <math>\ a_1 = a</math>;
<math>\ a_n</math> הוא מחלק אמיתי של <math>\ a_{n-1}</math> (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידאלים מהצורה <math>\ Ra_n</math> יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, על פי תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה <math>\left\{b_n\right\}</math> המוגדרת על ידי: <math>\ b_1 = a</math>;
<math>\ b_{n-1} = b_np_n</math>, כאשר <math>\ p_n</math> אי-פריק.
קיבלנו ש <math>\ a=p_2 ... p_m b_m</math> הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.
* כל [[תחום ראשי]] הוא נותרינתרי (מכיוון שהאידאלים שלו נוצרים סופית).
 
'''השערת ג'ייקובסון''', השואלת האם <math>\ \bigcap J(R)^n = 0</math> כאשר <math>\ J(R)</math> הוא [[רדיקל ג'ייקובסון]] של החוג, פתוחה עבור חוגים שהם נותרייםנתריים גם מימין וגם משמאל.
 
==דוגמאות==
* [[חוג השלמים ה-p-אדיים]] <math>\mathbb{Z}_p</math> כאשר <math>\ p</math> ראשוני. בחוג זה כל אידאל נוצר על ידי חזקה של <math>\ p</math>.
* [[פולינום|חוג הפולינומים]] בשני משתנים מעל שדה המרוכבים: <math>\mathbb{C}[x,y]</math>. בחוג זה כל האידאלים נוצרים סופית. (לפי משפט הבסיס של הילברט).
* דוגמה לחוג '''לא חילופי''' שהוא נותרינתרי-ימני אך לא נותרינתרי שמאלי: נתבונן בחוג מטריצות מגודל <math>\ 2 \times 2</math> המוגדר: <math>\ R= \begin{pmatrix}
\mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\
0 & \mathbb{Q} \\
\end{pmatrix} </math>.<br />ניתן לראות שחוג זה אינו נותרינתרי שמאלי אם נתבונן בקבוצת [[אידאל (אלגברה)|האידאלים]] הבאה: <math>\ I_n= \{\begin{pmatrix}
0 & \frac{m}{2^n} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} | m \in \mathbb{Z} \} </math>. <br /> עבור כל <math>\ n</math>, <math>\ I_n</math> הוא אידאל שמאלי ב- <math>\ R</math>, ומתקיים: <math>\ I_0\subsetneq I_1\subsetneq I_2 \subsetneq ... </math>. יש לנו שרשרת עולה אינסופית של אידאלים שמאליים ומכאן שהחוג אינו נותרינתרי שמאלי. לעומת זאת החוג <math>\ R</math> הוא נותרינתרי ימני ([http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfRightNoetherianRingThatIsNotLeftNoetherian.html הוכחה]).
 
==מקורות==
 
==קישורים חיצוניים==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/Noetherian.html הרחבה על חוגים נותרייםנתריים ויישומיהם]
* [http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/commutative.html משפטים וחומר נוסף]