חוג (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
←איבר יחידה: מוויקי האנגלית |
||
שורה 14:
=== איבר יחידה ===
מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של [[איבר יחידה]], נקרא "חוג בלי יחידה". לעתים, הטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר e המקיים <math>\ ex = x</math> לכל x), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד.
הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת [[1914]] על ידי [[אברהם הלוי פרנקל]],{{הערה|Fraenkel, A. (1914). "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. reine angew. Math. 145: 139–176.}} אך האקסיומות שלו היו נוקשות מאלה המקובלות כיום. ב-1921 פרסמה [[אמי נתר]] מאמר פורץ דרך,{{הערה|Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annalen 83: 24–66.}} ובו נתנה את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי. אחד ההבדלים בין פרנקל לנתר הוא בשאלה האם נדרש איבר יחידה לכפל. פרנקל דרש זאת, ואילו נתר לא דרשה זאת. עד ל[[שנות ה-60]] הייתה מקובלת במרבית ספרי האלגברה גישתה של נתר, אך החל ממועד זה הלכו והתרבו הספרים, בפרט ספרים מתקדמים מאת מחברים נודעים כ[[אמיל ארטין]], [[מייקל עטייה]] ו[[איאן מקדונלד]], [[ניקולא בורבקי]] ו[[סרז' לאנג]], שקיבלו את גישתו של פרנקל. עם זאת, עדיין נפוצים ספרים המתבססים על גישתה של נתר.
=== הומומורפיזמים ואידאלים ===
| |||