חוג (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←איבר יחידה: מוויקי האנגלית |
ביטול גרסה 16710783 של דוד שי (שיחה) - לפי הערה בערך תורת החוגים |
||
שורה 24:
תת קבוצה של חוג <math>\ S\subset R</math> שהיא חוג בפני עצמה, ביחס לאותן פעולות וקבועים, נקראת "תת-חוג". למשל, [[חוג המספרים השלמים]] הוא תת-חוג של [[שדה המספרים הרציונליים]] (המהווה [[שדה שברים]] שלו). אפשר להגדיר גם תת-חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. לדוגמה, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת-חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים.
לדוגמה, ה'''מרכז''' של חוג, הכולל על-פי ההגדרה את כל האיברים <math>\ c\in R</math> המקיימים <math>\,c \cdot r = r\cdot c </math> לכל <math>\ r\in R</math>, הוא תת-חוג קומוטטיבי של החוג (אם כי יכולים להיות לחוג תת-חוגים קומוטטיביים גדולים יותר).
== בניות של חוגים ==
תורת החוגים עשירה בדרכים לבנות חוגים חדשים. בין הפשוטות והמוכרות ביותר:
===סכום ישר===
[[מכפלה קרטזית|המכפלה הקרטזית]] <math>\ R\times S</math> של שני חוגים <math>\ R,S</math> עם הפעולות על הרכיבים נקראת [[סכום ישר]] של החוגים. [[משפט השאריות הסיני]] מפרק חוגים שיש להם אידאלים מקסימליים עם חיתוך טריוויאלי, לסכום ישר של חוגי מנה.
=== פולינומים ===
{{ערך מורחב|חוג פולינומים}}
לכל חוג R, אפשר לבנות את חוג ה[[פולינום|פולינומים]] <math>\ R[\lambda]</math>.
לכל חוג R, אוסף הפולינומים במשתנה ''x'' עם מקדמים מ-''R'' הוא חוג, ביחס לפעולות החיבור והכפל של פולינומים, והוא מכיל את R כתת-חוג. מקובל לסמן את החוג ב- <math>\,R[x]</math>. את הבניה הזו אפשר להכליל למספר כלשהו של משתנים (לאו דווקא סופי או בן-מניה). אם F הוא שדה, אז <math>\ F[x]</math> הוא [[חוג אוקלידי]].
=== מנה ===
בהינתן חוג R ואידאל דו-צדדי I, למנה R/I יש מבנה של חוג. בדרך זו אפשר לבנות חוגים רבים נוספים. לדוגמה, כל חוג קומוטטיבי הוא מנה של חוג פולינומים במספר (אולי אינסופי) משתנים מעל חוג השלמים Z.
=== מטריצות ===
חוג המטריצות <math>\ \operatorname{M}_n(R)</math> מורכב מן המטריצות מסדר n שרכיביהן שייכים ל- R. גם כאן, אפשר לזהות את R עם תת-החוג הכולל את המטריצות הסקלריות. החוג הזה לעולם אינו קומוטטיבי (אלא אם n=1 ואז R כן קומוטטיבי). יש התאמה מלאה בין האידאלים של R לאידאלים של חוג המטריצות מעליו, ולכן, כאשר R [[חוג פשוט]], גם החוג <math>\ \operatorname{M}_n(R)</math> פשוט. אם R הוא [[חוג עם חילוק]], אז חוגי המטריצות מעליו הם [[חוג ארטיני|ארטיניים]].
==דוגמאות==
שורה 36 ⟵ 54:
== ראו גם ==
* [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]]
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{אלגברה מופשטת}}
| |||