|
מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של [[איבר יחידה]], נקרא "חוג בלי יחידה". לעתים, הטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר e המקיים <math>\ ex = x</math> לכל x), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד.
הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת [[1914]] על ידי [[אברהם הלוי פרנקל]],{{הערה|Fraenkel, A. (1914). "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. reine angew. Math. 145: 139–176.}} אךבהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ ל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]], האסכולה האמריקאית של [[אלייקים הייסטינגס מור|א.ה. מור]], ובעיקר עבודתו תחת [[קורט הנזל]] על [[שדה המספרים ה-p-אדיים]]{{הערה|[[ליאו קורי]], [http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rml/1081878062 The Origins of the definition of abstract rings]}}. האקסיומות שלושל פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("[[חוג קלאסי]]"), וכך שלכל שני אברים a,b יש היואיברים נוקשותרגולריים מאלהu,v המקובלותכך כיוםש-ab=bau=vba. ב-1921 פרסמה [[אמי נתר]] מאמר פורץ דרך,{{הערה|Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annalen 83: 24–66.}} ובו נתנה את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי. אחד ההבדלים בין פרנקל לנתר הוא בשאלה האם נדרש איבר יחידה לכפל. פרנקל דרש זאת, ואילו נתר לא דרשה זאת. עד ל[[שנות ה-60]] הייתה מקובלת במרבית ספרי האלגברה גישתה של נתר, אך החל ממועד זה הלכו והתרבו הספרים, בפרט ספרים מתקדמים מאת מחברים נודעים כ[[אמיל ארטין]], [[מייקל עטייה]] ו[[איאן מקדונלד]], [[ניקולא בורבקי]] ו[[סרז' לאנג]], שקיבלו את גישתו של פרנקל. עם זאת, עדיין נפוצים ספרים המתבססים על גישתה של נתר.
=== הומומורפיזמים ואידאלים ===
|
