הבעיה השביעית של הילברט – הבדלי גרסאות

מ
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
* האם המספר <math>\ \alpha^\beta</math>, כאשר <math>\ \alpha</math> אלגברי (שונה מאחד ואפס) ו-<math>\ \beta</math> אלגברי אי-רציונלי, כמו למשל <math>\ 2^\sqrt2</math> או <math>\ e^\pi = (-1)^{-i}</math>, הוא תמיד מספר טרנסצנדנטי?
 
הילברט מציין שחקר השאלות הללו בפתח [[המאה ה-20]] מתבקש בעקבות ההישיגיםההישגים של [[שארל הרמיט]] (שהוכיח את ה[[טרנסצנדנטיות של e]]) ושל [[פרדיננד לינדמן]] (שהוכיח את [[משפט לינדמן]] ואת הטרנסצנדנטיות של [[פאי]]) בסוף [[המאה ה-19]]. הוא מנבא שההוכחה לטענות תהיה קשה מאוד ודרך לפתרון הבעיה יביא לפיתוחן של שיטות חדשות לחלוטין בחקר המספרים האי-רציונליים והמספרים הטרנסצנדנטיים.
 
הבעיה נפתרה על ידי [[אלכסנדר גלפונד]] ב-[[1934]], ובאופן בלתי תלוי על ידי [[תאודור שניידר]] ב-[[1935]]. התשובה החיובית לבעיה נקראת על שמם [[משפט גלפונד-שניידר]].