|
'''חבורותחבורת אוילר''' הן(נקראת בדרך כלל '''חבורת ההפיכים מודולו n''') היא ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורותחבורה]] בעלותשל המספרים השלמים ה[[מספרים זרים|זרים]] ל-n (כלשהו), עם פעולת הכפל [[חשבון מודולרי|מודולו]] n. לחבורות אלה תפקיד יסודי ב[[תורת המספרים]] האלמנטרית. החבורות קרויות על-שם: [[לאונרד אוילר]], שנעזרנעזר במבנה זההזה - עוד לפני ש[[תורת החבורות]] באה לעולם - כדי להוכיח את ההכללה של [[המשפט הקטן של פרמה]], הידועה בשם "[[משפט אוילר]]".
חבורתמקובל אוילר מסדר n כוללת, על-פי ההגדרה,לסמן את המספריםהחבורה השלמים מתוך <math>\{ 1,2,\dots,n\}</math> שהם [[מספרים זרים|זרים]] לב- n, עם פעולת הכפל [[חשבון מודולרי|מודולו]] n. מקובל לסמן חבורה זו <math>\ U_n</math>, <math>\ Euler(n)</math> או <math>\mathbb{Z}_n^\times</math> (הסימון האחרון מדגיש כי זוהי [[חבורת ההפיכים]] ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>\mathbb{Z}_n</math>). השימוש במלה "סדר" בהקשר זה, למרות שהוא מקובל, עשוי להטעות: בחבורת אוילר מסדרשל n יש <math>\ \phi(n)</math> אברים, כאשר <math>\ \phi</math> היא [[פונקציית אוילר]]. מנקודת מבט זו, משפט אוילר הוא [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']] המיושם לחבורת אוילר.
לדוגמה, חבורת אוילר מסדר 15 כוללת את המספרים <math>\ U_{15}=\{1,2,4,7,8,11,13,14\}</math>. קיומה של החבורה מבוסס על עובדה שהייתה ידועה כבר ל[[אוקלידס]] ומופיעה בספרו "[[יסודות (ספר)|יסודות]]": אם a ו- b שני מספרים הזרים ל- n, אז גם המכפלה ab זרה ל- n. במלים אחרות, הקבוצה <math>\ U_n</math> סגורה לכפל. בנוסף לזה, אם a זר ל- n אז [[אלגוריתם אוקלידס המוכלל]] מאפשר למצוא מספרים שלמים <math>\ u,v</math> כך ש- <math>\ ua+vn=1</math>, ובחישוב מודולו n מתקבל ש- u הוא ההופכי של a (הנקרא [[הופכי כפלי מודולרי]] של a); מכאן שהקבוצה כוללת, עבור כל איבר שלה, גם איבר הפכי - ולכן היא חבורה.
|
