|
ב[[מתמטיקה]], '''כלל המקבילית''' הוא, בצורתו הפשוטה ביותר, משפט ב[[גאומטריה אוקלידית]], הקובע כי סכום ריבועי ארבע צלעות המקבילית שווה לסכום ריבועי האלכסונים. במקרה שהמקבילית היא [[מלבן]], האלכסונים שווים ומתקבל [[משפט פיתגורס]]. כלל המקבילית חל בכל [[מרחב מכפלה פנימית]], ואף מאפיין את מרחבי המכפלה הפנימית בין כל ה[[מרחב נורמי|מרחבים הנורמיים]].
==ניסוח וקטורי של כלל המקבילית==
[[תמונה:Vector addition.png|שמאל|ממוזער|250px|כלל המקבילית]]
ב[[מרחב אוקלידי|מישור האוקלידי]], בהינתן שני וקטורים <math>\,a,b \ne 0</math> שאינם נמצאים על ישר אחד, ניתן ליצור מקבילית הנקבעתשקודקודיה עלהם ידי0, אורךונקודות הקצה של הווקטורים וכיוונםa,b,a+b (ראו איור משמאל). מהאפיון הגאומטרי של חיבור וקטורים ניתן לראות כי אלכסוניהּ של המקבילית הם הווקטורים <math>\,a+b</math> ו-<math>\,a-b</math>, ולפיכך, ניתן לנסח את. כלל המקבילית בצורהקובע וקטוריתש-<math>\,2(|a|^2+|b|^2) על= ידי השוויון:|a+b|^2+|a-b|^2</math>.
:<math>\,2(|a|^2+|b|^2) = |a+b|^2+|a-b|^2</math>
==הכללה למרחבי מכפלה פנימית==
בהינתןבכל [[מרחב מכפלה פנימית ]] <math>\ V</math> (מעל [[שדה המספרים הממשיים]] או [[שדה המספרים המרוכבים]]), לכל זוג וקטורים <math>\ z</math> ו-<math>\ w </math> ב-<math>\ V</math> מתקיים השוויון: ▼על פי הניסוח האלגברי לעיל, ניתן לקבל הכללה לכלל המקבילית לכל [[מרחב מכפלה פנימית]]:
▲בהינתן מרחב מכפלה פנימית <math>\ V</math> (מעל [[שדה המספרים הממשיים]] או [[שדה המספרים המרוכבים]]), לכל זוג וקטורים <math>\ z</math> ו-<math>\ w</math> ב-<math>\ V</math> מתקיים השוויון:
<div style="text-align: center;">
<math>\ ||z+w||^2 + ||z-w||^2 =2 (||z||^2+||w||^2) </math>
<math>||x||^2 = \langle x, x\rangle</math>.
</div>
הכלל נובע מכך שהמכפלה הפנימית היא [[תבנית בילינארית|בילינארית]].
ניתן להוכיח את הכלל ישירות על פי תכונות המכפלה הפנימית.
==כלל המקבילית ומרחבים נורמים==
מכיוון שכלל המקבילית עבור מרחבי מכפלה פנימית מנוסח לחלוטין במונחי הנורמה, מתעוררת שאלה טבעית האם הכלל תקף גם ב[[מרחב נורמי|מרחבים נורמים]]. מתברר כי אם המרחב הנורמי מוגדר מעל שדה הממשיים או המרוכבים, אז כלל המקבילית מתקיים אם ורק אם הנורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית. בפרט, ניתן להוכיח כי מרחב נורמי מסוים אינו מרחב מכפלה פנימית על ידי כך שמראים שאינו מקיים את כלל המקבילית.
כלל המקבילית מנוסח במונחי [[הנורמה המושרית]] במרחב מכפלה פנימית, ולכן אפשר לתהות באלו [[מרחב נורמי|מרחבים נורמים]] הוא חל. מתברר שאם מרחב נורמי מקיים את כלל המקבילית, אז הנורמה שלו מושרית על-ידי מכפלה פנימית.
===דוגמה למרחב נורמי שאינו מרחב מכפלה פנימית===
להלן דוגמא למרחב נורמי שאינו מקיים את כלל המקבילית (ולכן אינו יכול להיות מושרה על-ידי מכפלה פנימית). נסמן ב-<math>\ VL^{\infty}(0,1)</math> את אוסף ה[[פונקציהמרחב ממשיתוקטורי|פונקציות הממשיותמרחב]] ה[[פונקציה רציפהממשית|הרציפותפונקציות הממשיות]] החסומות על ה[[קטע (מתמטיקה)|קטע]] [0,1]., זהועם ה[[מרחבנורמה וקטורי(מתמטיקה)|נורמה]] ביחסהמוגדרת לפעולותלפי של חיבור פונקציות וכפל פונקציה בסקלר.
נגדיר [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] על <math>\ V</math> על ידי:
<div style="text-align: center;">
<math>\,||f|| = \sup_{x\in [0,1]}|f(x)|</math>
</div>
בדרך זו הופך <math>\ V</math> ל[[מרחב נורמי]], ואף ל[[מרחב בנך]]. לפונקציות <math>f(x) = x</math> ו-<math>g(x) = 1-x</math> יש נורמה 1, ולכן <math>\,2(||f||^2+||g||^2) =2(1^2+1^2) =4</math>, בעוד ש-<math>\,||f+g||^2 + ||f-g||^2 = 1^2 + 1^2 = 2</math>. כלל המקבילית אינו מתקיים, ולכן <math>\ L^{\infty}(0,1)</math> אינו מרחב מכפלה פנימית.
כלומר, הנורמה של פונקציה רציפה <math>\ f</math> שווה לערך המקסימלי של <math>\ |f|</math> בקטע (קיומו של ערך כזה מובטח על ידי [[משפטי ויירשטראס]]). בדרך זו הופך <math>\ V</math> ל[[מרחב נורמי]], ואף ל[[מרחב בנך]].
על מנת להראות כי מרחב זה אינו מרחב מכפלה פנימית, נתבונן בפונקציות
<div style="text-align: center;">
<math>f(x) = x \qquad g(x) = 1-x</math>
</div>
במקרה זה, מתקיים:
<div style="text-align: center;">
<math>\,2(||f||^2+||g||^2) =2(1^2+1^2) =4</math>
</div>
ואילו
<div style="text-align: center;">
<math>\,||f+g||^2 + ||f-g||^2 = 1^2 + 1^2 = 2</math>
</div>
לפיכך, כלל המקבילית אינו מתקיים, ובפרט <math>\ V</math> אינו מרחב מכפלה פנימית.
==קישורים חיצוניים==
| 