חבורת בראואר – הבדלי גרסאות

הוסרו 254 בתים ,  לפני 7 שנים
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
ב[[אלגברה מופשטת]], '''חבורת בראוור''' (Brauer group) של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] נתון היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] אוסף מחלקות ה[[אלגברה פשוטה מרכזית|אלגברות הפשוטות המרכזיות]] עם פעולת ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]], בה [[איבר הופכי|איבר ההופכי]] הוא (המחלקה של) ה[[חוג הפוך|אלגברה המנוגדת]]. היא נקראת על שם המתמטיקאי [[ריצ'רד בראוור]]. מטרתה היא לאפיין ולמיין את ה[[אלגברה פשוטה מרכזית|אלגברות הפשוטות המרכזיות]] מעל השדה.
 
==מבוא והגדרה פורמלית==
ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] <math>\overline { \mathbb{F} }</math> של <math>\mathbb{F}</math> תמיד שדה מפצל של כל <math>\mathbb{F}</math>-אלגברה <math>R</math>, ולכן קיים מספר טבעי <math>n</math> כך ש-<math>R{\otimes}_{\mathbb{F}} (\overline{\mathbb{F}}) {\sim}_{Br} {M}_{n}(\overline{\mathbb{F}}) </math>, ולכן ממדו הוא <math>{n}^{2}</math>. המספר <math>n</math> נקרא ה'''דרגה''' של <math>R</math>, ומסמנים <math>n=deg(R)</math>. ה'''אינדקס''' של <math>R={M}_{t}(D)</math> הוא הדרגה של <math>D</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>, מסומן <math>ind(R)</math>, ומתקיים <math>deg(R)= t \cdot ind(R)</math>.
 
לתתי לתת-שדות מקסימליים של האלגברה מקום מרכזי בתיאוריה:
 
'''משפט''':שדה <math>\mathbb{L}</math> מפצל את <math>R</math> אם ורק אם <math>\mathbb{L}</math> תת-שדה מקסימלי של איזושהי אלגברה <math>R'</math> המכילהשקולה אתל-R <math>\mathbb{F}</math>בחבורה.
 
ה'''אקספוננט''' של אלגברה <math>R</math> הוא ה[[סדר (תורת החבורות)|סדר]] של <math>[R] \in Br(\mathbb{F})</math>, ומסומן <math>exp(R)</math>. תמיד מתקיים <math>exp(R)|deg(R),exp(R)|ind(R)</math>, וכל ראשוני המחלק את <math>ind(R)</math> מחלק את <math>exp(R)</math>. בפרט, חבורת בראוור היא [[חבורה מפותלת]], כלומר חבורה בה לכל איבר סדר סופי.
 
לכל מספר <math>m</math>, מגדירים את החבורה <math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> להיות תת-החבורה המכילה את כל האלגברות מאקספוננט המחלק את <math>m</math>. אם <math>gcd([\mathbb{L}: \mathbb{F}],m)=1</math> העתקת הצמצמום מ-<math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> ל-<math>{Br(\mathbb{L})}_{m}</math> היא שיכון.
תכונה חשובה נוספת של חבורת ברואוור היא שהיא חבורת [[פיתול (אלגברה)|פיתול]], כלומר חבורה בה כל איבר <math>R</math> מקיים <math>R \otimes ... \otimes R \cong {M}_{n}(\mathbb{F})</math>. מספר ההכפלות שיש לבצע מחלק את <math>\sqrt {[R:\mathbb{F}]}</math> (להוכחה והכללה של הטענה ראו בקריאה הנוספת).
 
==חבורת בראוור וקהומולוגיהוקוהומולוגיה==
לכל מספר <math>m</math>, מגדירים את החבורה <math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> להיות תת-החבורה המכילה את כל האלגברות מאקספוננט <math>m</math>. אם <math>gcd([\mathbb{L}: \mathbb{F}],m)=1</math> העתקת הצמצמום מ-<math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> ל-<math>{Br(\mathbb{L})}_{m}</math> היא שיכון.
 
==חבורת בראוור וקהומולוגיה==
דרך הגדרה שקולה לחבורת בראוור היא בעזרת חבורת ה[[קוהומולוגיה]] הראשונה של [[החבורה הלינארית הכללית]] ה'''פרויקטיבית''' -
<math>{PGL}_{n}(\mathbb{K})={GL}_{n}(\mathbb{K})/Z({GL}_{n}(\mathbb{K}))</math>.